18
правок
Изменения
Добавление 3-го примера
:<tex>g_n = \dfrac{7}{9} 2^n + (-1)^n (\dfrac{1}{3} n + \dfrac{2}{9})</tex>
===Пример 3===
Вычислим обратную функцию к экспоненте. Для этого мы воспользуемся разложением экспоненты:
:<tex>e^z = \sum\limits_{z = 0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} z^n</tex>
Разложение экспоненты начинается с 1, поэтому аргумент логарифма нужно сдвинуть в 1:
:<tex>ln(1 + t) = l_1 t + l_2 t^2 + l_3 t^3 + \dots</tex>
(свободный член в разложении равен <tex>0</tex>, поскольку <tex>ln(1) = 0</tex>). Для вычисления коэффициентов разложения логарифма воспользуемся тем, что производная функции и обратной к ней в произведении дают <tex>1</tex>. Поскольку <tex>\dfrac{d}{ds} e^s = e^s</tex>, получаем
:<tex>\dfrac{d}{dt} ln(1 + t) = \dfrac{1}{1 + t} = 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 - \dots</tex>,
откуда, интегрируя,
:<tex>ln(1 + t) = t - \dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{1}{3}t^3 - \dfrac{1}{4}t^4 + \dots</tex>
Чаще используется следующий вариант:
:<tex>-ln(1 - t) = ln(1 - t)^{-1} = t + \dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{1}{3}t^3 + \dfrac{1}{4}t^4 + \dots</tex>
==Решение обыкновенных дифференциальных уравнений на производящие функции==
