Изменения

<tex>A(s)= \fracdfrac{a_1}{1^s} + \fracdfrac{a_2}{2^s} + \fracdfrac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \fracdfrac{a_n}{n^s}</tex>,

* Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае [[Производящая функция|обыкновенных производящих функций]].

* Принято писать <tex> \fracdfrac{a_n}{n^s} </tex> вместо <tex> {a_n}{n^{-s}} </tex>. Это считается более удобной формой. == Операции над производящими функциями Дирихле== === Сложение === Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.  === Умножение === Если <tex>A(s)</tex> и <tex>B(s)</tex> — производящие функции Дирихле двух последовательностей <tex>\{a_n\}_{n=1}^\infty</tex> и <tex>\{b_n\}_{n=1}^\infty</tex> соответственно, то <tex>A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} n^{-s}\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}</tex>, где внутреннее суммирование ведётся по всем разложениям числа <tex>n</tex> в произведение двух сомножителей. === Единица === Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>. === Обратимость === Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s)</tex> с ненулевым свободным членом (<tex>a_1 \neq 0</tex>) обратима, то есть для неё существует функция <tex>B(s)</tex>, такая что <tex>A(s)B(s) = 1</tex>.  Действительно, по правилу перемножения функций имеем <tex>A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} n^{-s}\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}</tex>, что в нашем случае равно <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>. Получаем, что <tex>a_1b_1 = 1</tex>, тогда <tex>b_1 = \dfrac{1}{a_1}</tex>. Остальные слагаемые равны <tex>0</tex>. Рассмотрим их. Известно, что коэффициент перед <tex>\dfrac{1}{n^s}</tex> равен <tex>\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l} = {a_1b_n} + \sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}</tex>. Отсюда <tex>{b_n} = -\dfrac{\sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}}{a_1}</tex> для всех <tex>n>1</tex>. <!---- Attention!Можно привести доказательство теоремы об обратной функции для дзета-функции Римана <!---лол, это была не я. (МК)//узковат кругозор у Вас, мужик, неприятненько было убирать за Вами :с ---> == Применение == Производящие функции Дирихле используются в мультипликативной теории чисел. Введение производящей функции Дирихле обусловлено их поведением относительно умножения, что позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B8%D0%BF%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F Мультипликативные функции]</ref>. <!------------jalko stirat' no net mesta---------{{Определение|definition ='''Мультипликативная функция''' (''multiplicative function'') {{---}} функция <math>f(m)</math>, такая что:: <math>f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2)</math> для любых чисел <math>m_1</math> и <math>m_2</math> :: <math>f(1)=1</math>.}}---------->{{Определение|definition ='''Мультипликативная последовательность''' (''multiplicative sequence'') {{---}} последовательность <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex>, такая что <tex>a_{mn} = a_m a_n</tex> для любых чисел <math>m</math> и <math>n</math>.}}Заметим, что для мультипликативных последовательностей <tex>a_1=1</tex>. Иначе равенство <tex>a_{mn} = a_m a_n</tex> при <tex>m=1</tex> не выполнено, если <tex>a_1\neq 0</tex> либо превращается в нулевую последовательность, если <tex>a_1=0</tex>. {{Утверждение|statement= Последовательность <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex> является мультипликативной тогда и только тогда, когда соответствующая ей производящая функция Дирихле имеет вид<tex>A(s)= \prod\limits_p\bigg(1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_p}{p^{ns}}\bigg)</tex>, где <tex>p</tex> принимает все простые значения.}}

Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана .

<tex>\zeta (s)={\frac dfrac {1}{1^{s}}}+{\frac dfrac {1}{2^{s}}}+{\frac dfrac {1}{3^{s}}}+\ldots ,</tex>

Таблица содержит известные производящие функции. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. <tex>[\zeta(s)]^2</tex> является последовательностью количества делителей числа<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9 Функция делителей]</ref>. <tex>\mu(n)</tex> — последовательность Мҷбиуса (англМёбиуса <ref>[https://ru.wikipedia. Möbius)org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0 Функция Мёбиуса]</ref>. <tex>H(n)</tex> — последоватльность последовательность [[Разложение на множители (факторизация)|факторизаций числа. ]], <tex>\phi(n)</tex> — [[Функция Эйлера|функция Эйлера. <tex>\lambda(s)</tex> — лямбда функция Дирихле]].

| '''<tex>f(s)</tex>''' || '''ПоследоватльностьПоследовательность''' || '''<tex>{a_n}</tex>'''

| <tex>\dfrac{\zeta(s-1)}{\zeta(s-k)}</tex> || <tex>\sigma_kphi(n)</tex> || <tex>1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, \dots</tex>

| <tex>\zeta(sdfrac{1}{[2-1)/\zeta(s)]}</tex> || <tex>\phiH(n)</tex> || <tex>1, 1, 21, 2, 41, 23, 61, 4, \dots</tex><!-------

| <tex>1/[2-\zetalambda(s)]</tex> || <tex>H\dfrac{1}{2[1-(-1)^n)]}</tex> || <tex>1, 10, 1, 20, 1, 30, 1, 40, \dots</tex>

| <tex>\lambda(s)</tex> || <tex>1/2[1-(-1)^n]</tex> || <tex>1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots</tex> |-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(dfrac{\zeta(s)\zeta(s-1))/(}{\zeta(2s))}</tex> || <tex>\psi(n)</tex> || <tex>1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, \dots</tex>---------------->

Производящие функции ==Свойства некоторых производящих функций Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел== <!-------xz как назвать, ввиду особого поведения относительно умножения. потом придумаю)))------->

{{Теорема|statement =Функция Мёбиуса имеет вид:<tex>M(s) =\dfrac{1}{\zeta(s)} = Умножение ==\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{\mu_n}{n^s}</tex>, где

Если <tex>A(s)</tex> и <tex>B(s)</tex> — произодящие функции Дирихле двух последовательностей <tex>\{a_n\}_{nmu_n =1}^\infty</tex> и <tex>\begin{b_n\cases}_{n=(-1})^\infty</tex> соответсвенно, то <tex>A(s)B(s) = \frac{a_1b_1t_n}{1^s} + & \fractext{a_1b_2 + a_2b_1}{2^sгде } + t_n \fractext{a_1b_3 + a_3b_1равно количеству простых делителей числа }{3^s} + n \fractext{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s, если в разложении этого числа они не повторяются} + \dots = \sum0 & \limits_text{nиначе} \fracend{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^scases}</tex>, где внутренние суммирование ведется по всем разложением числа <tex!------ !!! how to make po-russki ??? ----->n</tex> в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел.=== Сложение ===

Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей|proof = Перемножим функции <tex>M(s)</tex> и <tex>\zeta(s)</tex> и рассмотрим коэффициент при <tex>n^{-s}</tex>. Назовём его <tex>f_n</tex>. Тогда<tex>f_n = \sum\limits_{k=0}^{t_n}(-1)^{k}\dbinom{t_n}{k}</tex>.Действительно, пусть [[Разложение на множители (факторизация)|разложение <tex>n</tex> на простые множители]] имеет вид <tex>n = p^{k_1}_1\ldots p^{k_{t_n}}_{t_n}</tex>. Тогда коэффициент при <tex>m^{−s}</tex> функции <tex>M(s)</tex> участвует в произведении с ненулевым коэффициентом в том и только в том случае, если <tex>m</tex> является произведением некоторого подмножества множества простых чисел <tex>n = p_1\ldots p_{t_n}</tex>. Число таких подмножеств из <tex>k</tex> элементов равно <tex>\dbinom{t_n}{k}</tex>, а знак соответствующего коэффициента при <tex>m^{−s}</tex> равен <tex>(-1)^{k}</tex>.

}}{{Теорема|statement = Пусть <tex>f_n,g_n</tex> такие, что <tex>f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k</пример tex>. Тогда <tex>g_n = \sum\limits_{n\vdots k} \mu_k f_k</tex>.|proof = Равенство <tex>f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k</tex> означает, что <tex>F(s) = \zeta(s)G(s)</tex>, где <tex>F(s),G(s)</tex> {{---}} производящие функции Дирихле для последовательностей <tex>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> и <tex>\{g_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> соответственно. Домножим левую и правую части на <tex>M(s)</tex>. Получаем <tex>M(s)F(s) = M(s)\zeta(s)G(s)</tex>, а правая часть равна <tex>G(s)</tex>, так как <tex>M(s)</tex> и <tex>\zeta(s)</tex> сокращаются по предыдущей теореме.

Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция {{Утверждение|statement=<tex>\zeta(s) = \prod\limits_{p} \dfrac{1}{1 - p^{-s}}</tex>, где <tex>p</tex> принимает все простые значения.|proof = Данное равенство верно, если <tex>M(s) = \prod\limits_{p} {(1 - p^ {-s})}</tex>.Но последнее равенство доказывается раскрытием скобок. В результирующей последовательности будут участвовать лишь те слагаемые, для которых <tex>n</tex> представляется в виде произведения попарно различных простых множителей, а их количество определяет знак. Эта последовательность по определению является последовательностью Мёбиуса.}}

=== Обратимость =См. также==* [[Производящая функция]]

Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s)</tex> с ненулевым свободным членом, <tex>a_1 \neq 0</tex>, обратима: для нее существует функция <tex>B(s)</tex>, такая что <tex>A(s)B(s) = 1=Примечания==<references/tex>