Изменения

:{ {''a''}, {''b''}, {''c''} }:{ {''a''}, {''b'', ''c''} }:{ {''b''}, {''a''В противном случае, ''c''} }:{ {''c''}если различные упорядочивания множеств считаются различными разбиениями, {'тогда количество таких упорядоченных разбиений называются 'a'', ''b''} }:{ {''a'', ''b'', 'упорядоченными числами Белла'c''} }.

''B''==Факторизации==Если число <subtex dpi="130">0N</subtex> является 1, т.к. существует только одно возможное разбиение пустого множества. Каждый элемент пустого множества является непустым множеством и их объединение является пустым множеством. Таким образом, пустое множество может разбиваться только на само себя. Как было обозначено выше, мы не рассматриваем ни порядок подмножеств, ни порядок элементов в каждом их них. Это означает, что данные разбиения являются идентичными:свободным от квадратов <ref>[[wikipedia:Square-free element|Wikipedia { {''b''---}, {''a'', ''c''} }:{ {''a'', ''c''}, {''b''} }:{ {''b''}, {''c'', ''a''} }:{ {''c'', ''a''}, {''b''} }.В противном случае, если различные упорядочивания множеств считаются различными разбиениями, тогда количество таких упорядоченных разбиений называются упорядоченными числами Белла.===Факторизации===Если число ''N'' является свободным Cвободные от квадратовчисла]]</ref>, то ''B<subtex dpi="130">nB_n</subtex>'' показывает количество различных мультипликативныхразбиений <tex dpi="130">N</tex>.Если число ''<tex dpi="130">N'' </tex> является квадратичным положительным целым числом (является произведением некоторого числа '' <tex dpi="130">n'' </tex> различных простых чисел), то ''B<subtex dpi="130">nB_n</subtex> дает '''число различных мультипликативных разбиений ''' <tex dpi="130">N''</tex>. Это является факторизацией ''<tex dpi="130">N'' </tex> в числа большие, чем <tex>1</tex> (рассматривая две факторизации как идентичные, treating two factorizations as the same if they have the same factors in a different orderесли они имеют одинаковые факторы в другом порядке.) подтверждает это наблюдение Сильвио Минетоле<ref>{{harvnb|Williams|1945}} credits this observation to Silvio Minetola's ''Principii di Analisi Combinatoria'' (1909).</ref> .Например, <tex>30 </tex> является произведением <tex>3 </tex> простых чисел <tex>2</tex>, <tex>3, and&nbsp;</tex> и <tex>5, </tex> и имеет ''B''<subtex dpi="130">3N=5 </subtex> = 5 факторизаций:

1==Схемы рифмовки== 1 2Числа Белла показывают ''количество схем рифмовки на <tex dpi="130">n</tex> строках''. Схема рифмы описывает, какие строки рифмуются друг с другом, и поэтому может быть истолковано как отношение экивалентности на множестве строк. Таким образом, <tex>15</tex> возможных четверостиший схемами рифмовки являются: 2 3 5<tex dpi="130"> AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC,ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC, 5 7 10 15 15 20 27 37 52ABCD</tex>.

====Биномиальные коэффициенты====Числа Белла удовлетворяют рекуррентному соотношению c участием биномиальных коэффициентов s::<tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.</tex>==== Доказательство ====Докажем, что <tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}.</tex> По определению <tex dpi = "150">B_{n}\ { — }\ </tex>число всех неупорядоченных подмножеств <tex>n</tex>-элементного множества. Посчитаем количество неупорядоченных подмножеств для <tex dpi= "150">(n+1)</tex>-элементного множества множества: Пусть <tex dpi= "150">x_1 \cup... \cup x_k\ {sfn— }\ </tex>подмножества множества <tex dpi= "150">[1...n+1]</tex>. Пусть <tex dpi= "150">n+1\in x_k</tex>, тогда <tex dpi= "150">x_1 \cup... \cup x_{k-1}\ { — }\ </tex>подмножество множества <tex dpi="150">[1...n+1]</tex> \ <tex dpi= "150">x_k</tex>. Пусть <tex dpi= "150">|Wilfx_k|1994|p=23i+1</tex>, где <tex dpi= "150">i\in [0;n]</tex>, тогда <tex dpi= "150">x_k</tex> можно выбрать <tex dpi= "150">\binom{n}{i}</tex> способами, а оставшиеся элементы разбить <tex dpi = "150">B_{n-i}:</tex> способами. <texdpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}=</tex> <tex dpi = "150">\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{n-k} B_{k}=</tex> <tex dpi= "150">\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.</tex>. ====Связь с числами Стирлинга второго рода====Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму [[Числа Стирлинга второго рода|'''чисел Стирлинга второго рода''']]::<texdpi = "150">B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}.</tex>, Число где число Стирлинга <texdpi = "150">\left\{{n\atop k}\right\}</tex> является количеством способов разбиения набора элементов ''<tex dpi = "150">n'' </tex> в ровно ''<tex dpi="150">k</tex> непустых подмножеств.==== Доказательство ====Посчитаем количество подмножеств <tex dpi= "150">n</tex>-элементного множества. Нам нужно разбить <tex dpi= "150">n</tex>-элементное множество на <tex dpi= "150">k'' </tex> непустых подмножеств, где <tex dpi= "150">k</tex> от <tex dpi= "150">1</tex> до <tex dpi= "150">n</tex>. Пусть<tex dpi= "150">C\ { — }\ </tex>все подмножества <tex dpi= "150">n</tex>-элементного множества. Пусть <tex dpi= "150">A_k\ { — }\ </tex>разбиение <tex dpi= "150">n</tex>-элементного множества на <tex dpi= "150">k</tex> непустых подмножеств, тогда <tex dpi = "150"> C = \bigcup \limits_{k=1}^{harvtxtn}A_k</tex>. <tex dpi = "150">|SpiveyA_k|=\left\{{n\atop k}\right\}\ { — }\ </tex>по определению, тогда <tex dpi = "150">B_n=|C|=\sum_{k=1}^{n} \ |A_k|2008=\sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\}=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}</tex>, т.к. <tex dpi = "150">\left\{{n\atop 0}\right\} =0</tex>. ====Объединяющая формула====Майкл Спайви<ref>Spivey, Michael Z. (2008). "A generalized recurrence for Bell numbers" . Journal of Integer Sequences. 11 (2): Article 08.2.5, 3. MR 2420912.</ref> получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования::<texdpi = "150">B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.</tex>==== Лемма ====<tex dpi = "150">B_{n+m}\ { — }\ </tex>количество способов разбить <tex dpi = "150">(n+m)</tex>-элементное множество на подмножества. Количество способов разбить <tex dpi = "150">m</tex>-элементное множество на <tex dpi = "150">j</tex> непустых подмножеств это <tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}</tex>, где <tex dpi = "150">j</tex> меняется от <tex dpi = "150">1</tex> до <tex dpi = "150">m</tex>. Из оставшихся <tex dpi = "150">n</tex> объектов выберем <tex dpi = "150">k</tex>, для разделения их на новые подмножества, а оставшиеся <tex dpi = "150">n-k</tex> объектов распределим между <tex dpi = "150">j</tex> подмножествами, сформированных из <tex dpi = "150">m</tex>-элементного множества. <tex dpi = "150">B_{k}\ { — }\ </tex>количество разбиений <tex dpi = "150">k</tex>-элементного множества на подмножества и <tex dpi = "150">j^{n-k}</tex> способов разбить <tex dpi = "150">n-k</tex> элементов между <tex dpi = "150">j</tex> подмножествами. Значит <tex dpi = "150">j^{n-k} \left\{{n\atop k}\right\}\binom{n}{k} B_{k}</tex> способов разбить <tex dpi = "150">m</tex> элементов на <tex dpi = "150">j</tex> подмножеств и выбрать <tex dpi = "150">k</tex> элементов из <tex dpi = "150">n</tex>-элементного множества и выбрать <tex dpi = "150">k</tex> элементов из <tex dpi = "150">n </tex>-элементного множества и сформировать из них новые подмножества, а из оставшихся <tex dpi = "150">n-k</tex> объектов разделить между <tex dpi = "150">j</tex> множествами, сформированных из <tex dpi = "150">m</tex>-элементного множества. ==== Доказательство ====Суммируя подмножества, рассмотренные в лемме, меняя <tex dpi = "150">m</tex> и <tex dpi = "150">k</tex>, получаем:<tex dpi = "150">B_{n+m}=\sum_{k=0}^n \sum_{j=1}^m </tex><tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}j^{n-k} \binom{n}{k} B_{k}=</tex><tex dpi = "150">B_{n+m}=\sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m </tex><tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}j^{n-k} \binom{n}{k} B_{k}</tex> т.к. <tex dpi = "150">\left\{{m\atop 0}\right\}=0</tex>.

===Производная Производящая функция===Экспоненциальной [[производящая функция|производящей функцией числе ]] чисел Белла является::<texdpi = "150">B(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.</tex>

Числа Белла удовлетворяют '''формуле Добинского''{{sfn|Dobiński|1877}}{{sfn|Rota|1964}}{{sfn|Bender|Williamson|2006}}'::<texdpi = "150">B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}.</tex>Эта формула может быть получена за счет расширения экспоненциальной производящей функции, используя ряд Тейлора <ref>[[wikipedia:Taylor series|Ряд Тейлора]]</ref> для экспоненциальной функции, а затем собирая условия с аналогичным показателем экспоненты. {{sfn|<ref>Flajolet|& Sedgewick|(2009}})</ref>.Это позволяет интерпретировать ''B_n'' как ''<tex dpi="130">n''</tex>-й момент Пуассоновского распределения с ожидаемым значением <tex>1</tex>.

Применение интегральной формулы Коши <ref>[[wikipedia:Cauchy's integral formula|Формула Коши]]</ref> для экспоненциальной производящей функции дает комплексное интегральное представление:: <texdpi = "150"> B_n = \frac{n!}{2 \pi i e} \int_{\gamma} \frac{e^{e^z}}{z^{n+1}} \, dz. </tex> ===Log-concavityЛогарифмическая вогнутость===Числа Белла формируют логарифмически выпуклую последовательность. Деление их на факториал, ''B'' <subtex dpi = "170">''\frac{B_n}{n''!}</subtex>/''n''!, дает логарифмически выпуклую последовательность.sequence.{{sfn|Engel|1994}}{{sfn|Canfield|1995}}{{sfn|Asai|Kubo|Kuo|2000}}

Известно несколько асимптотических формул для чисел Белла. В {{harvtxt|'''Беренд Тасса''' в <tex>2010</tex>-м<ref>Berend|, D.; Tassa|, T. (2010}} были установлены ). "Improved bounds on Bell numbers and on moments of sums of random variables". Probability and Mathematical Statistics. 30 (2): 185–205.</ref> установлил следующие границы::<texdpi = "150"> B_n < \left( \frac{0.792 n}{\ln( n+1)} \right)^n </tex> для всех положительных чисел <tex>n</tex>;

:<texdpi = "150"> B_n < \left( \frac{e^{-0.6 + \varepsilon} n}{\ln(n+1)}\right)^n </tex>

<texdpi = "150"> ~d(x):= \ln \ln (x+1) - \ln \ln x + \frac{1+e^{-1}}{\ln x}\,.

Числа Белла могут быть аппроксимированы с помощью ''функции Ламберта Вт''<tex>W</tex> <ref> [[wikipedia:Lambert W function|Функция Ламберта W]]</ref>, данная функция имеет такой же темп роста, как логарифм, как{{sfnp|Lovász|1993}}:<texdpi = "150">B_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{n}{W(n)} \right)^{n + \frac{1}{2}} \exp\left(\frac{n}{W(n)} - n - 1\right). </tex>

{{harvtxt|'''Мозер Л. и Вайман М.'''<ref>Moser|, Leo; Wyman|, Max (1955}} установил ). "An asymptotic formula for the Bell numbers". Transactions of the Royal Society of Canada, Section III. </ref> установили расширение::<texdpi = "150">B_{n+h} = \frac{(n+h)!}{W(n)^{n+h}} \times \frac{\exp(e^{W(n)} - 1)}{(2\pi B)^{1/2}} \times \left( 1 + \frac{P_0 + hP_1 + h^2P_2}{e^{W(n)}} + \frac{Q_0 + hQ_1 + h^2Q_2 + h^3Q_3 + h^4Q_4}{e^{2W(n)}} + O(e^{-3W(n)}) \right)</tex>

:<texdpi = "150">\begin{align} \frac{\ln B_n}{n} & = \ln n - \ln \ln n - 1 + \frac{\ln \ln n}{\ln n} + \frac{1}{\ln n} + \frac{1}{2}\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)^2 + O\left(\frac{\ln \ln n}{(\ln n)^2} \right) \\& {} \qquad \text{as }n\to\infty</tex>Было установлено '''де Брайном'''<ref>de Bruijn, N.G. (1981). Asymptotic methods in analysis (3rd ed.). Dover. p. 108.</ref> в <tex>1981</tex> году. ==Получение=====Вычисление с помощью треугольника Пирса=== [[Image:BellNumberAnimated.gif|right|thumb| Треугольное множество, правая диагональная последовательность которого состоит из чисел Белла]]Числа Белла могут быть с легкостью '''вычислены''' с помощью '''треугольника Белла''', который также называют '''массивом Айткена''' или '''треугольником Пирса'''.# Начнем с единицы. Помещаем ее в верхнюю строку. (<tex> x_{0,1} = 1 </tex>)# Каждая новая строка должна начинаться с крайнего правого элемента прошлой строки. (<tex>x_{i,1} \endleftarrow x_{aligni-1, i}</tex>)# Заполняем строчку <tex>i</tex> по формуле <tex> ( x_{i,j} \leftarrow x_{i,j-1} + x_{i-1,j-1}) </tex> , начиная с <tex> j = 2 </tex>, пока <tex>j \leqslant i + 1 </tex>.# Крайнее левое число данной строки является числом Белла для этой строки. (<tex>B_i \leftarrow x_{i,1}</tex>)Первые пять строк треугольника, построенного по этим правилам:{| border="1" |- |<tex>1</tex>|| || || || |- |<tex>1</tex>|| <tex>2</tex>|| || || |- | <tex>2</tex>||<tex>3</tex> ||<tex>5</tex> || || |- |<tex>5</tex>|| <tex>7</tex>|| <tex> 10</tex>|| <tex> 15</tex>|||- |<tex>15</tex>|| <tex> 20</tex> || <tex>27</tex> || <tex>37</tex> || <tex>52</tex> |} ===Получение с помощью чисел Стирлинга второго рода===[[Числа Стирлинга второго рода|'''Числа Стирлинга второго рода''']] связаны друг с другом по следующей формуле:<tex dpi="150">\left\{{n+1\atop k}\right\} = k \left\{{ n \atop k }\right\} + \left\{{n\atop k-1}\right\}

Было установлено де Брайном в 1981 году==Источники информации==*[https://cseweb.ucsd.edu/~gill/BWLectSite/Resources/C1U4SF.pdf Bender Edward A.Williamson, S. Gill, Set Partitions, 319–320, 2006]* [https://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number Wikipedia {{---}}Bell numbers]*Nobuhiro Izumi Hui-Hsiung "Acta Applicandae Texematicae",79–87.Bell numbers, log-concavity, and log-convexity 2000*Aitken A. C. Edinburgh Texematical Notes,18–23 A problem in combinations 1933*H. W.BeckerJohn Riordan "The arithmetic of Bell and Stirling numbers" American Journal of Texematics,1948,385–394*E. T.Bell Exponential polynomials,Annals of Texematics,1934, 258–277*E. T.Bell The iterated exponential integers,Annals of Texematics,1938,539–557[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Комбинаторика]]