Изменения

|proof=Так как <tex>d_G(x), d_G(y) \leqslant k - 1 </tex>, а степени остальных вершин графа не более <tex>k</tex>, то на расстоянии не более <tex>g - 1</tex> от <tex>y</tex> находится не более чем <tex>1 + (k - 1) + \ldots + (k - 1)^{g - 1} = \sum\limits_{n=0}^{g - 1} (k - 1)^n = \dfrac{(k-1)^{g} - 1}{k - 2}</tex> вершин графа, а на расстоянии не более <tex>g - 2</tex> от <tex>x</tex> находится не более чем <tex>1 + (k - 1) + \ldots + (k - 1)^{g - 2} = \sum\limits_{n=0}^{g - 2} (k - 1)^n =\dfrac{(k-1)^{g - 1} - 1}{k - 2}</tex> вершин. Так как <tex>\dfrac{(k-1)^{g - 1} - 1}{k - 2} + \dfrac{(k-1)^{g} - 1}{k - 2} = \dfrac{k(k-1)^{g-1} - 2}{k - 2}</tex>, а <tex> |V(G)| > \dfrac{k(k-1)^{g-1} - 2}{k - 2}</tex>, то существует такая вершина <tex>z</tex>, что <tex>dist(x, z) \geqslant g - 1</tex> и <tex>dist(y, z) \geqslant g</tex>.

}}

{{Теорема

|author = В. Татт

|statement = Пусть <tex> k, g, n \in \mathbb{N} </tex>, причём <tex> k, n \geqslant 3, n > \dfrac{k(k-1)^{g-1} - 2}{k - 2}, kn </tex> чётно. Тогда существует <tex>k</tex>-[[Основные определения теории графов#defRegularGraph | регулярный граф]] <tex>G</tex> c обхватом <tex>g(G) = g</tex> и количеством вершин <tex> |V| = n</tex>

Пусть <tex>G_{set}(g, n, k)</tex> {{---}} семейство всех графов с <tex>n</tex> вершинами, обхватом <tex>g</tex> и максимальной степенью вершин не более <tex>k</tex>. При <tex>n > g</tex> очевидно, что <tex>G_{set}(g, n, k) \neq \emptyset</tex>: например, этому множеству принадлежит граф, состоящий из простого цикла на <tex>g</tex> вершинах и <tex>n - g</tex> изолированных вершин.