403
правки
Изменения
+ площадь, часть 1
{{TODO|t=Понимание, вернись!}}
}}
== Площадь фигур ==
=== Общий принцип ===
В этой части будет указан общий приём для получения площадей и объёмов фигур через интеграл. Площадь и объём фигур определяются
наиболее логичным образом, с точки зрения практического смысла.
{{Определение
|definition=
Фигура квадрируема {{---}} у неё есть площадь.
}}
Получение формулы основано на так называемом «принципе исчерпывания древних». {{TODO|t=Точно так?}}
Пусть есть фигура <tex>A</tex>, необходимо найти её площадь <tex>|A|</tex>. Пусть имеются два класса фигур <tex>B</tex> и <tex>C</tex>.
У каждой из фигур, принадлежащих <tex>B</tex> и <tex>C</tex> существует площадь, и, при этом, они таковы, что
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists b_\varepsilon \in B \ \exists c_\varepsilon \in C: \ b_\varepsilon \subset A \subset c_\varepsilon, \ |c_\varepsilon - b_\varepsilon| < \varepsilon</tex>.
Тогда этот принцип утверждает, что фигура квадрируема и её площадь
<tex>S = \sup\limits_{\varepsilon > 0} |b_\varepsilon| = \inf\limits_{\varepsilon > 0} c_\varepsilon</tex>
=== Площадь под графиком ===
Рассмотрим классическую ситуацию {{---}} площадь фигуры под графиком функции:
Пусть на <tex>[a; b]</tex> есть <tex>y = f(x) \geq 0</tex>, тогда обозначим за <tex>G_f = \{(x, y) \colon x \in [a; b], 0 \leq y \leq f(x) \}</tex>.
<tex>G_f</tex> называют также ''криволинейной трапецией''.
{{Утверждение
|statement=
<tex>S(G_f) = \int\limits_a^b f(x)dx</tex>
|proof=
Рассмотрим разбиение <tex>\tau \colon a \leq x_0 < \ldots < x_n \leq b</tex>.
Обозначим <tex>m_k = \inf\limits_{x \in [x_k; x_{k + 1}]} f(x)</tex>, <tex>M_k = \sup\limits_{x \in [x_k; x_{k + 1}]}</tex>.
Также рассмотрим прямоугольники
<tex>\Pi'_k = </tex> прямоугольник (<tex>[x_k; x_{k + 1}] \times [0; m_k]</tex>)
<tex>\Pi''_k = </tex> прямоугольник (<tex>[x_k; x_{k + 1}] \times [0; M_k]</tex>)
Тогда можно рассматривать площади ступенчатых фигур
<tex>\Pi'(\tau) = \bigcup \Pi'(k)</tex>, <tex>\Pi''(\tau) = \bigcup \Pi''(k)</tex>
Тогда, очевидно, <tex>\Pi'(\tau) \leq G_f \leq \Pi''(\tau)</tex>
<tex>\Pi'(\tau)</tex> и <tex>\Pi''(\tau)</tex> являются суммами Дарбу: <tex>|\Pi'(\tau)| = \underline{s}(\tau)</tex>, <tex>|\Pi''(\tau)| = \overline{s}(\tau)</tex>
По принципу исчерпания, фигура квадрируема, <tex>|G_f| = \sup \underline{s}(\tau) = \int\limits_a^b f(x dx)</tex>.
}}
=== Ещё несколько примеров ===
Рассмотрим ещё несколько примеров:
* <tex>S</tex> криволинейного сектора
* <tex>V</tex> фигуры вращения
* <tex>V</tex> через площади поперечных сечений
При выводе этих трёх формул детали опустим, потому что они были рассказаны выше. Для каждого примера укажем два класса фигур,
на базе которых получается формула по принципу исчерпывания.
==== Полярный сектор ====
Рассмотрим полярные координаты <tex>\begin{cases}x = r \cos \varphi \\ y = r \sin \varphi \\ \end{cases}</tex> где
<tex>r = f(\varphi)</tex>, <tex>\varphi \in [\alpha; \beta]</tex>.
{{Определение
|definition=
Фигура вида <tex>\{(x, y) \colon \varphi \in [\alpha; \beta], r \in [0; f(\varphi)]\}</tex> {{---}} криволинейный сектор.
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex>S = \frac12 \int\limits_\alpha^\beta f^2(\phi) d\varphi</tex>
|proof=
Будем искать площадь на основе обычных секторов круга. Площадь сектора <tex>S = \frac12 r^2 \alpha</tex>.
Создадим <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a; b]</tex>. Определим <tex>m_k = \inf\limits_{\varphi \in [\varphi_k; \varphi_{k + 1}]} f(\varphi)</tex>,
<tex>M_k = \sup\limits_{\varphi \in [\varphi_k; \varphi_{k + 1}]} f(\varphi)</tex>.
<tex>\Pi'_k = \{(\varphi, r) \colon \varphi \in [\varphi_k; \varphi_{k + 1}, r \in [0; m_r]] \}</tex>
<tex>\Pi''_k = \{(\varphi, r) \colon \varphi \in [\varphi_k; \varphi_{k + 1}, r \in [0; M_r]] \}</tex>
<tex>\Pi'(\tau) \subset A \subset \Pi''(\tau)</tex>
<tex>|\Pi'(\tau)| = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \frac12 m_k^2 \Delta \varphi_k</tex>
<tex>S = \frac12 \int\limits_\alpha^\beta f^2(\phi) d\varphi = \frac12 \int\limits_\alpha^\beta r^2 d\varphi</tex>
}}
