133
правки
Изменения
Нет описания правки
Рассмотрев случаи, видим, что для любого из них выполнено: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex> <br>
<tex>B</tex> {{---}} барьер <tex> \Leftrightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B| = \mathrm{def}(G) </tex> <br>
Тогда <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant |B| - 1 + \mathrm{def}(G)</tex><br> То есть <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ \geqslant \mathrm{def}(G)</tex><br>
Тогда возможны два случая:
#Если выполняется равенство <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ = \mathrm{def}(G) </tex>, то, по определению, <tex>B'</tex> является барьером. <br>
#:Но <tex>|B'| < |B| </tex>, а значит, <tex>B</tex> не является минимальным по включению барьером <tex>\Rightarrow</tex> противоречие условию теоремы. <br>
#Если <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ > \mathrm{def}(G)</tex>, то <br>
#:<tex>\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ > \mathrm{def}(G) = \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B|\</tex>, что противоречит [[Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#Th_Berge| теореме Бержа]]. <br>
В обоих случаях мы пришли к противоречию, значит, наше предположение неверно и <tex>\forall x\in B</tex> является центром лапы в <tex>G</tex>.
}}
{{Утверждение
|id=proposal1 |author=D.P.Sumner, M.Las Vergnas|about=следствие из теоремы|statement=Пусть <tex>G</tex> {{---}} связный граф, не содержащий лапы, <tex>v(G)</tex> чётно. Тогда <tex>G</tex> имеет [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#perfect_matching | совершенное паросочетание]].
|proof= Пусть <tex>B</tex> {{---}} минимальный по включению барьер графа <tex>G</tex>. Тогда, по предыдущей теореме имеем <tex>B = \varnothing </tex>.<br>
По условию <tex>G</tex> {{---}} связный граф с чётным числом вершин <tex>\Rightarrow </tex> <tex>\mathrm{odd}(G\setminus \varnothing )\ = 0 </tex>. <br>
<tex>B</tex> {{---}} барьер <tex>\Leftrightarrow \mathrm{def}(G) = \mathrm{odd}(G\setminus \varnothing) - |\varnothing|\ = 0 </tex>. Значит, количество вершин, не покрытых [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#maximal_matching | максимальным паросочетанием]], равно 0, то есть в <tex>G</tex> существует совершенное паросочетание.
}}
