Изменения

|statement = Пересечение всех максимальных по включению барьеров графа <tex>G</tex> равно <tex>A(G)</tex>.

|proof = Пусть <tex>H</tex> {{---}} пересечение всех максимальных по включению барьеров графа <tex>G</tex>. Чтобы доказать теорему, докажем, что <tex>A(G)\subset H</tex> и <tex>A(G)\supset H</tex>.<br>

<br>

<tex>A(G)\subset H</tex>:<br>

Пусть <tex>B</tex> {{---}} максимальный по включению барьер, <tex>|A(G)\setminus B| = k > 0</tex>, <tex>B' = B \cup A(G) \Rightarrow |B'| = |B| + k</tex>.<br>

Докажем, что <tex>B'</tex> {{---}} барьер и получим противоречие. Для этого достаточно доказать, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, ведь в таком случае <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{def}(G)\ + |B| + k \Rightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B')\ - |B'| \geqslant \mathrm{def}(G)</tex>. <br>

Пусть <tex>W</tex> {{---}} компонента связности графа <tex>G - B</tex>, содержащая <tex>t > 0</tex> вершин из <tex>A(G)</tex> (см. рисунок <tex>1</tex>). <br>

В силу [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barier_struct1| леммы о связи барьера]] с <tex>D(G)</tex>, <tex>B'\cap D(G) = \varnothing</tex>. Поэтому, <tex>W</tex> содержит все компоненты связности графа <tex>G(D(G))</tex>, соединённые рёбрами с <tex>W\cap A(G)</tex>. <br>