43
правки
Изменения
Нет описания правки
'''Диспе́рсия случа́йной величины́''' — мера разброса данной [[случайная величина|случайной величины]], то есть её отклонения от [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]]. Обозначается <tex>D \xi</tex> в русской литературе и <tex>\operatorname{Var}\,(\xi)</tex> в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный <tex>\displaystyle \sigma</tex>, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.
Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
Пусть <tex>\displaystyle \xi</tex> — [[случайная величина]], определённая на некотором [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]]. Тогда
: <tex>D \xi = \mathbb{E}\left[(\xi -\mathbb{E}[\xi])^2\right] </tex>
где символ <tex>\mathbb{E}</tex> обозначает [[Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]].
== Замечания ==
* В силу линейности [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] справедлива формула:
*: <tex>D \xi = \mathbb{E}[\xi^2] - \left(\mathbb{E}[\xi]\right)^2;</tex>
== Свойства ==
* Дисперсия любой [[случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D[\xi] \geqslant 0;</tex>
* Если дисперсия [[случайная величина|случайной величины]] конечна, то конечно и её математическое ожидание;
* Если [[случайная величина]] равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>D[a] Da = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D[\xi]=0,</tex> то <tex>\xi =\mathbb{E}[\xi]</tex> почти всюду;
* Дисперсия суммы двух [[случайная величина|случайных величин]] равна:
*: <tex>\! D[(\xi \pm \psi] ) = D[\xi] + D[\psi] \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psi)</tex> — их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];* <tex>D\left[(a\xi\right] ) = a^2D[\xi];</tex>* <tex>D\left[(-\xi\right] ) = D[\xi];</tex>* <tex>D\left[(\xi+b\right] ) = D[\xi].</tex>
== Источники ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B Википедия]*Дискретный анализ, Романовский И. В.
