Изменения

Иногда в анализе необходимо ввести ограничение на количество компонентов. Такой случай обозначается нижним коэффициентом (например, <tex dpi="130">Seq_{k}(A)</tex> {{---}} <tex dpi="130">k</tex> компонентов). Для подсчета производящей функции таких классов необходимо заменить аргумент  Непосредственной формулой для производящих функций является диагональ <tex dpi="130">\Delta</tex> декартова произведения <tex dpi="130">A \times A</tex>, определяемая как <tex dpi="130">B \equiv \Delta(A \times A) : \{(a, a) \mid a \in A\}</tex>. Тогда имеет место соотношение <tex dpi="130">B(z)=A(z^{2})</tex>. Например Диагональная конструкция позволяет получить доступ к классу всех неупорядоченных пар из различных элементов из <tex dpi="130">A</tex>, то есть к <tex dpi="130">P = PSet_{2}(A)</tex>. Прямое выражение выполняется следующим способом: неупорядоченная пара <tex dpi="130">\langle \alpha, \beta \rangle </tex> связана с двумя упорядоченными парами <tex dpi="130">(\langle \alpha, \beta \rangle </tex> и <tex dpi="130">\langle \beta, \alpha \rangle )</tex>, кроме тех случаев, когда <tex dpi="130">\alpha = \beta</tex>, то есть когда пара лежит на диагонали декартова произведения. Другими словами, <tex dpi="130">PSet_{2}(A) + PSet_{2}(A) + \Delta(A \times A) \cong A \times A</tex>. Это, в свою очередь, означает что <tex dpi="130">2P(z) + A(z^{2}) = A(z)^{2}</tex>. Таким образом можно выразить <tex dpi="130">PSet_{2}(A)</tex>. Аналогично для <tex dpi="130">Seq_{2}(A)</tex>, <tex dpi="130">MSet_{2}(A)</tex> и <tex dpi="130">Cycle_{2}(A)</tex>:  

!<tex dpi="130">Class</tex>||<tex dpi="130">A(z)</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">Seq_{k}(B)</tex>||<tex dpi="130>B(z)^{k}</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">PSet_{2}(BA)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{B(z)^{2}}{2}-\dfrac{B(z^{2})}{2}</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">MSet_{2}(B)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{BA(z)^{2}}{2}+\dfrac{B(z^{2})}{2}</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">Cycle_{2}(B)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{B(z)^{2}}{2}+\dfrac{B(z^{2})}{2}</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">PSet_{3}(B)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{B(z)^{3}}{6}-\dfrac{B(z)B(z^{2})}{2}+\dfrac{B(z^{3})}{3}</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">MSet_{3}(B)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{B(z)^{3}}{6}+\dfrac{B(z)B(z^{2})}{2}+\dfrac{B(z^{3})}{3}</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">Cycle_{3}(B)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{B(z)^{3}}{3}+\dfrac{2B(z^{3})}{3}</tex>

!<tex dpi="130">PSet_{42}(BA)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{BA(z)^{42}}{242}-\dfrac{B(z)^{2}BA(z^{2})}{4}+\dfrac{B(z)B(z^{3})}{3}+\dfrac{B(z^{2})^{2}}{8}-\dfrac{B(z^{4})}{4}</tex>

!<tex dpi="130">MSet_{42}(BA)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{BA(z)^{42}}{242}+\dfrac{B(z)^{2}BA(z^{2})}{4}+\dfrac{B(z)B(z^{3})}{3}+\dfrac{B(z^{2})^{2}}{8}+\dfrac{B(z^{4})}{4}</tex>

!<tex dpi="130">Cycle_{42}(BA)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{BA(z)^{42}}{42}+\dfrac{BA(z^{2})^{2}}{4}+\dfrac{B(z^{4})}{2}</tex>