693
правки
Изменения
→Обобщение задачи для произвольных графов
* '''Удаляемое ребро не является мостом'''. Тогда существует другое ребро, соединяющее две части исходной компоненты (под частями подразумевается какое-то разбиение множества вершин на два, при этом вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> лежат в разных частях). Если <tex>uv</tex> принадлежало нашему лесу, то передаём эту "функцию" новому ребру.
Осталось проверить, является ли ребро мостом. Будем искать ребро <tex>xy</tex> на уровне <tex>l(uv)</tex>, затем <tex>l(uv)-1</tex>, <tex>l(uv)-2</tex><tex>{{...}}\ldots</tex>. Рассматривать будем меньшую из частей (будем считать, что <tex>|T(u)|\leqslant|T(v)|</tex>, в противном случае просто поменяем исследуемые вершины местами). Если мы находим такое ребро, что оно ведёт в другую часть, то останавливаемся и говорим, что <tex>uv</tex> не мост. Иначе увеличиваем уровень ребра, чтобы заново к нему не обращаться или уменьшаем уровень и повторяем процедуру. Суммарная сложность сканирования рёбер будет <tex>O(|T(u)|\mathrm{\log}n)</tex>, так как в худшем случае мы проверяем каждую вершину из <tex>T(u)</tex>, а уровень ребра не превосходит <tex>\mathrm{\log}n</tex>.
Общее время удаления одного ребра не превосходит <tex>O(\mathrm{\log}^2{n}+S\cdot\mathrm{\log}n)</tex>, где <tex>S</tex> {{---}} число неудачных просмотров ребра <tex>xy</tex>, а для всех <tex>m</tex> запросов получаем <tex>O(\mathrm{\log}^2{n}\cdot m+\mathrm{\log}n\cdot\sum{S}) \leqslant O(\mathrm{\log}^2{n} \cdot m+\mathrm{\log}n\cdot\mathrm{\log}n\cdot m) = O(2\cdot\mathrm{\log}^2{n}\cdot m)</tex>, поэтому для одного запроса будем иметь время <tex>O(\mathrm{\log}^2{n})</tex>.
