Изменения

В математике '''убывающим факториалом''' (англ. ''falling factorial'') (иногда называется '''нисходящим факториалом''',<ref name="Steffensen" /> '''постепенно убывающим факториалом''' или '''нижним факториалом''') обозначают:

:<tex>(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)</tex>

'''Растущий факториал''' (англ. ''rising factorial'') (иногда называется '''функцией Похгаммера''', '''многочленом Похгаммера''', '''восходящим факториалом''',<ref name="Steffensen">Steffensen, J. F., Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)</ref> '''постепенно растущим произведением''' или '''верхним факториалом''') определяется следующей формулой:

:<tex>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k). </tex>

При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).

==Примеры==

Несколько первых растущих факториалов:

:<tex>x^{(0)}=x^{\overline0}=1 </tex>

Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, <tex dpi=150>x</tex> может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.

:<tex dpi=150>x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)},</tex>

== Связывающие коэффициенты и тождества ==

<ref name="Introduction to the factorials and binomials">[http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/ Wolfram Functions Site {{---}} Introduction to the factorials and binomials]</ref>

:<tex dpi=150> = (-1)^n (-x)_n = (x-n+1)_n = \frac{1}{(x+1)^{\overline{-n}}} </tex>

:<tex dpi=150> (x)_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (n-1)^{\underline{n-k}} \times x^{\underline{k}} </tex>

:<tex dpi=150> = \binom{-x}{n} (-1)^n n! </tex>

:<tex dpi=150> = \binom{x+n-1}{n} n! </tex>

:<tex dpi=150> = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. </tex>

:<tex dpi=150>(x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.</tex>

:<tex dpi=150>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geq i. </tex>

:<tex dpi=150>x^{\underline{m+n}} = x^{\underline{m}} (x-m)^{\underline{n}}</tex>

:<tex dpi=150>x^{\underline{-n}} = \frac{1}{(x+1)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}</tex>

:<tex dpi=150>(x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} </tex>

:<tex>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),</tex>

:<tex>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).</tex>

:<tex>(x)_{n,f,t} := \prod_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</tex>

== См.также ==

*[[Числа Стирлинга первого рода]]

*[[Числа Стирлинга второго рода]]

*[[wikipedia:Generalized Pochhammer symbol|Обобщённый символ Похгаммера]]

*[[wikipedia:q-Pochhammer symbol|''q''-Похгаммер символ]]

==Примeчания==

* [http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html Pochhammer Symbol]

* [https://en.wikipedia.org/wiki/Falling_and_rising_factorials#cite_ref-3 Wikipedia {{---}} Falling and rising factorials]

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]

[[Категория:Символ Похгаммера]]