Изменения

[[File:RisingFactorial.gif|401px|thumb|upright|График растущего факториала для <tex>n </tex> от <tex>0 </tex> до <tex>4</tex>]]

:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150>x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}</tex>|proof=<tex dpi=150>\Gamma(x) = x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}</tex> {{---}} по определению. Значит, <tex dpi=150>\Gamma(x+n) = (x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x+n\}</tex>:<tex dpi=150>=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x\}</tex> <tex dpi=150>\Gamma(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x-1\}</tex>:<tex dpi=150>=(x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x\}</tex> Объединив эти два факта,получим, что: <tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x\}}{(x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x\}}</tex>:<tex dpi=150>=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots(x)=(x)^{(n)}</tex>, что и требовалось доказать.}}

:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150>(x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}</tex>|proof=<tex dpi=150>\Gamma(x) = x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}</tex> {{---}} по определению.Значит, <tex dpi=150>\Gamma(x+1) = x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}</tex> <tex dpi=150>\Gamma(x-n+1) = (x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x-n+1\}</tex>:<tex dpi=150>=(x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x\}</tex> Объединив эти два факта, получим, что: <tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}}{(x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x\}}</tex>:<tex dpi=150>=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=(x)_n</tex>, что и требовалось доказать.}}

использовались А. Капелли (<tex>1893</tex>) и Л. Тоскано (<tex>1939</tex>) соответственно.<ref name=Knuth>According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. <tex>1</tex>, 3rd <tex>3</tex>rd ed., p. <tex>50</tex>.</ref> Грахам, Кнут и Паташник<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book ''Concrete Mathematics'' (<tex>1988</tex>), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN <tex>0-201-14236-8</tex>, pp.&nbsp;<tex>47</tex>,<tex>48</tex></ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x</tex> убывающий к <tex>m</tex>" соответственно.