748
правок
Изменения
→Лемма Бёрнсайда
|id=lemmaBerns.
|author=Бернсайд, '''англ.''' Burnside's lemma
|statement=Число орбит равно средней мощности стабилизатора элементов группы <tex>G</tex>. <math>|X/G| = \fracdfrac{1} {|G|}\sum\limits_{g \in G}|St(g)|</math>.
|proof=
Так как <tex>St(g)</tex> {{---}} стабилизатор элемента <tex>g</tex>, то по определению <math>\sum\limits_{g \in G}|St(g)| = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</math>.
Следовательно для доказательства леммы необходимо и достаточно доказать следующее равенство:
<texmath>|X/G|\cdot|G| = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</texmath>
Введем обозначение <tex>C=X/G</tex>.
Рассмотрим правую часть равенства:
<texmath>|\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum\limits_{x \in X} |G_x| = \sum\limits_{x \in X}</texmath><tex dpi = "180"math> \fracdfrac{|G|}{|Gx|}</tex><tex> = |G| \sum\limits_{x \in X}</tex><tex dpi = "180">\fracdfrac{1}{|Gx|} </texmath><texmath>= |G|\sum\limits_{P\in C}\sum\limits_{x\in P}</texmath><tex dpi = "180"math> \fracdfrac{1}{|P|}</texmath>
Заметим, что <texmath>\sum\limits_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \fracdfrac{1}{|P|}</tex><tex> = </tex><tex dpi = "180"> \fracdfrac{1}{|P|}</tex><tex>\sum\limits_{1}^{|P|}{1} = 1.</texmath> Следовательно:
<texmath>|G|\sum\limits_{P\in C}\sum\limits_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \fracdfrac{1}{|P|}</tex><tex> = |G|\sum\limits_{P\in C} 1</texmath>.
Очевидно, что <texmath>\sum\limits_{P\in C} 1 = \sum\limits_{1}^{|C|}{1} = |C|.</texmath> Тогда получим:
<texmath>|G|\sum\limits_{P\in C} 1 = |C|\cdot|G|.</texmath>
Откуда следует, что
<texmath>\sum\limits_{g \in G}|St(g)| = |C|\cdot|G|.</texmath> ч.т.д.
}}
