1632
правки
Изменения
м
Классическийц Классический способ суммирования:
rollbackEdits.php mass rollback
Для ряда должно выполняться несколько свойств:
*Если начиная с какого-то <tex>n</tex> все <tex>a_k</tex>, <tex>k > n</tex> равны нулю, то <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty = \sum'\limits_{k = 1}^n</tex>.
*Линейность ряда: <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k + \beta\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k</tex>.
То, каким правилом определяется сумма ряда, называется способом суммирования.
<tex>S_n = \sum\limits_{k = 1}^n a_k</tex> {{---}} частичные суммы ряда.
Переписывая на языке частичных сумм критерий Коши существования предела последовательности, приходим к критерию Коши сходимости ряда:
<tex>\sum\limits_{k = 1}^\inftya_k</tex> {{---}} сходится <tex>\iff</tex> <tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k \xrightarrow[n,p\to \infty]{} 0</tex>.
Это видно из равенства <tex>S_{n + p} - S_{n - 1} = \sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k</tex>.
Заметим, что <tex>S_n = \sum\limits_{k = 1}^p a_k + \sum\limits_{k = p + 1}^n a_k</tex>, где <tex>p</tex> {{---}} ограничено, <tex>n \to \infty</tex>.
Значит, <tex>S_n</tex> и <tex>\sum\limits_{k = p+1}^na_k</tex> равносходятся.
Вывод: на сходимость конечное число слагаемых не влияет. Однако, очевидно, они вляют на значение суммы.
