137
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|id=th_main.
|statement=Последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots </tex> задана линейной рекуррентой с <tex>k</tex> первыми заданными членами <tex>\Leftrightarrow</tex> её производящая функция <tex>A(t)</tex> является дробно-рациональной, причём она представима в виде <tex>A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}, deg (Q(t) = k, deg (P(t) < k</tex>
|proof=
<tex>\Leftarrow)</tex>. Пусть <tex>A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}, deg (Q(t) = k, deg P(tQ) < k</tex>. Тогда <tex>A(t) \cdot Q(t) = P(t)</tex>. Пусть <tex>Q(t)</tex> имеет вид <tex>Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k</tex>.
Так как <tex>deg (P(t) < k, \forall n \geqslant k </tex> выполнено <tex>p_n = 0</tex>. Расписывая <tex>p_n</tex> по определению [[Арифметические действия с формальными степенными рядами#def_mul| произведения степенных рядов]], получаем <tex>\sum\limits_{i = 0}^n a_i \cdot q_{n - i} = 0</tex>
Тогда <tex>a_n \cdot q_0 + a_{n - 1} \cdot q_1 + \ldots + a_{n - k} \cdot q_k + a_{n - k - 1} \cdot 0 + a_{n - k - 2} \cdot 0 + \ldots + a_{0} \cdot 0 = 0</tex> (так как <tex>deg (Q(t) = k</tex>)
Так как <tex>q_0 = 1</tex>, а <tex>\forall i: 1 \leqslant i \leqslant k: q_i = -c_i</tex>
<tex>a_n - c_1 \cdot a_{n - 1} - \ldots -c_k \cdot a_{n - k} = 0</tex>
а <tex>P(t) = a_0 + (a_1 - c_1 \cdot a_0) \cdot t + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \ldots + (a_k - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} c_i \cdot a_{k - 1 - i}) \cdot t^{k - 1}</tex>
Тогда <tex>A(t) \cdot Q(t) = P(t), deg (Q(t) = k, deg (P(t) < k</tex>
}}
