Изменения

Введём для каждого состояния структуры данных величину <tex>\Phi</tex> {{---}} потенциал. Изначально потенциал равен <tex>\Phi_0</tex>, а после выполнения <tex>i</tex>-й операции {{---}} <tex>\Phi_i</tex>. Стоимость <tex>i</tex>-й операции обозначим <tex>a_i = t_i + \Phi_i - \Phi_{i-1}</tex>. Пусть <tex>n</tex> {{---}} количество операций, <tex>m</tex> {{---}} размер структуры данных. Тогда средняя амортизационная стоимость операций <tex>a = O(f(n, m)),</tex> если выполнены два условия:

|proof =

<tex dpi = "150">a = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {a_i} + \sum\limits^{n - 1}_{i = 0} {\Phi_i} - \sum\limits^{n}_{i = 1} {\Phi_i} }{n} = \genfrac{}{}{}{}{n \relax O(f(n, m)) + \Phi_0 - \Phi_n}{n} = O(f(n, m))</tex>

#* <tex>a_{pop} = 1 - 1 = 0,</tex> так как время выполнения операции <tex>\mathrm{pop}{}</tex> {{---}} <tex>1</tex>, а изменение потенциала {{---}} <tex>-1</tex>.

#* <tex>a_{multipop} = k - k = 0,</tex> так как время выполнения операции <tex>\mathrm{multipop}{(k)}</tex> {{---}} <tex>k</tex>, а изменение потенциала {{---}} <tex>-k</tex>.

Таким образом, <tex>f(n, m) = 1</tex>, а значит, средняя амортизационная стоимость операций <tex>a = O(1)</tex>.