Изменения

'''Рекуррентная формула''' (англ. ''recurrence relation'') — формула вида <mathtex>a_n=f(n, a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_{n-p} ) </mathtex>, выражающая каждый следующий член последовательности <mathtex>a_n</mathtex> через <mathtex>p</mathtex> предыдущих членов и возможно номер члена последовательности <mathtex>n</mathtex>, вместе с заданными первыми p членами, где <tex>p</tex>— порядок рекуррентного соотношения.

Во многих задачах полезно знать<tex>F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, есть ли у рекурсивной функции нерекурсивная или как еще говорят «замкнутая» форма\quad n\geqslant 2, т.е. получение <math>f(\quad n)\in Z</mathtex> в виде аналитически заданной функции. Например, рекурсивная функция, описывающая сумму чисел натурального ряда:

<mathtex> f a_n</tex> член может быть записан следующим образом: <tex>a_n= \begindfrac{1}{\sqrt{cases5} f}\left( \biggl(0)=0; \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \ f(nbiggr) = ^n + f- \biggl(n\dfrac{1-1\sqrt{5}}{2} \biggr),\quad ^n > 0 \end{cases}right).</mathtex>

может быть переведена в замкнутую форму: <math>f = \frac{n(n+1)}{2}</math>. Для этого можно использовать метод производящих функций(англ. ''generating function method'').

Алгоритм получения выражения для чисел <tex>a_{n}</tex>, удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций cостоит из <tex>4</tex> шагов.#Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен <tex>k</tex>):#:<tex>a_{0} = …, \\ a_{1} = …, \\ a_{k-1} = …, \\ … \\ a_{n} = …, n\geqslant k</tex>#Домножить каждую строчку на <tex>z</tex> в соответствующей степени (<tex>z^{k} \cdot a_{k} = … \cdot z^{k}</tex>) и сложить все выражения, многоточие надо рассматривать как множество из выражений, где <tex>n \in [k, +\infty)</tex>. В левой части получится сумма <tex>\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n</tex> — это производящая функция, назовем ее <tex>G(z)</tex>. Правую часть преобразовать так, чтобы она превратилась в выражение, включающее <tex>G(z)</tex>.#Решить полученное уравнение, получив для <tex>G(z)</tex> выражение в замкнутом виде.#Разложить <tex>G(z)</tex> в степенной ряд, коэффициент при <tex>z_n</tex> будет искомым выражением для <tex>a_n</tex>.алгоритм

==ДоказательствоПримеры=====<tex>1</tex> пример===[[Производящая_функция| Производящие функции]] позволяют решать рекуррентные соотношение механически по построениюодному и тому же алгоритму. Рассмотрим общую схему на простом примере, который позволит продемонстрировать базовые приёмы работы. Задано линейное однородное рекуррентное соотношение порядка <tex>2</tex> с постоянными коэффициентами:<br><tex>\begin{array}{rcl}a_0&{}={}&0,\\a_1&{}={}&1,\\a_n&{}={}&5a_{n-1}-6a_{n-2}, \quad n\geqslant2.\\\end{array}</tex><br> Порядок соотношения — это его «глубина», то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером <tex>n</tex>. В данном случае порядок равен <tex>2</tex>, так как для вычисления <tex>a_n</tex> требуется знать <tex>a_{n-1}</tex> и <tex>a_{n-2}</tex>. Будем искать производящую функцию последовательности в виде<br><tex>G(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n = a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots,</tex><br> с этой целью умножим верхнюю строчку в записи рекуррентного соотношения на <tex>z^0</tex>, следующую — на <tex>z^1</tex> и последнюю — на <tex>z^n</tex>:<br><tex>\begin{array}{rcl}1\cdot a_0&{}={}&0\cdot 1,\\z\cdot a_1&{}={}&1\cdot z,\\z^n\cdot a_n&{}={}&(5a_{n-1}-6a_{n-2})\cdot z^n, \quad n\geqslant2.\\\end{array}</tex><br> Теперь сложим все уравнения для всех значений <tex>n</tex>:<br><tex>\underbrace{a_0 + a_1 z + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_nz^n}_{G(z)} {=} z+5\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}z^n-6\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}z^n.</tex><br> Левая часть уравнения в точности равна <tex>G(z)</tex>, а в правой части есть суммы, очень похожие на функцию <tex>G(z)</tex>, но не равные ей. Эти суммы нужно привести к виду <tex>G(z)</tex>. Начнём с первой:<br><tex>\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}z^n \stackrel{(1)}{=}z\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}z^{n-1} \stackrel{(2)}{=}z\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^n \stackrel{(3)}{=}z\biggr( \underbrace{ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^n+a_0}_{G(z)} - a_0\biggr)=z(G(z)-a_0) \stackrel{(4)}{=} z G(z).</tex><br> Равенство <tex>(1)</tex> получатся вынесением <tex>z</tex> в первой степени за знак суммы, это необходимо, чтобы уровнять степень переменной <tex>z</tex> и индекс переменной a внутри суммы. Действие <tex>(2)</tex> — изменение индекса суммирования, которое позволяет избавиться от <tex>n-1</tex>. Равенство <tex>(3)</tex> получается, если прибавить и снова отнять значение <tex>a_0</tex>, чтобы получить полную сумму от <tex>n=0</tex> до <tex>∞</tex>. Равенство <tex>(4)</tex> справедливо в силу того, что <tex>a_0=0</tex>. Аналогичные манипуляции со второй суммой дают нам выражение<br><tex>\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}z^n = z^2\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}z^{n-2}= z^2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}=z^2G(z).</tex><br> Теперь наше исходное уравнение для производящей функции принимает вид:<br><tex>G(z) = z + 5zG(z) -6z^2G(z),</tex><br> откуда получаем производящую функцию последовательности в замкнутом виде:<br><tex>G(z) = \dfrac{z}{1-5z+6z^2}.</tex><br> Отыскав производящую функцию в замкнутом виде, её нужно снова разложить в ряд. Это можно сделать разными способами, но самый простой из них — разбить всю дробь на простые дроби и применить формулу для разложения <tex>\dfrac{1}{1-z}</tex>. Итак, разложим знаменатель функции на множители:<br><tex>G(z) = \dfrac{z}{1-5z+6z^2} = \dfrac{z}{(1-3z)(1-2z)}.</tex><br> Теперь разобьём дробь на сумму простых дробей:<br><tex>\dfrac{z}{(1-3z)(1-2z)} = \dfrac{1}{1-3z} - \dfrac{1}{1-2z}.</tex><br> Вспомним [[Производящая_функция#Приложения | разложение для простейшей рациональной функции]]:<br><tex>\dfrac{1}{1-z} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}z^n = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots.</tex><br> Из этого разложения следует, что<br><tex>\dfrac{1}{1-3z}= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(3z)^n \quad\mbox{ и }\quad \dfrac{1}{1-2z}= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(2z)^n.</tex><br> Таким образом,<br><tex>G(z) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}3^nz^n - \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2^nz^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(3^n-2^n)z^n.</tex><br> С другой стороны, мы искали <tex>G(z)</tex> в виде<br><tex>G(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n,</tex><br>поэтому, в силу равенства рядов, <tex>a_n=3^n-2^n</tex> (для <tex>n\geqslant 0</tex>). ===<tex>2</tex> пример: числа Фибоначчи===Рассмотрим рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи:<br><tex>\begin{array}{rcl}f_0&{}={}&0,\\f_1&{}={}&1,\\f_n&{}={}&f_{n-1}+f_{n-2}, \quad n\geqslant2.\\\end{array}</tex><br> Первый шаг алгоритма мы уже выполнили, записав рекуррентное соотношение. Выполним второй шаг:<br><tex>\begin{array}{rcl}1\cdot f_0&{}={}&0\cdot 1,\\z\cdot f_1&{}={}&1\cdot z,\\z^n\cdot f_n&{}={}&(f_{n-1}+f_{n-2})\cdot z^n, \quad n\geqslant2.\\\end{array}</tex><br> Складываем все строчки:<br><tex>f_0 + f_1 z + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}f_nz^n =z + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}f_{n-1}z^n+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}f_{n-2}z^n.</tex><br> Третий шаг алгоритма требует привести все суммы к замкнутому виду:<br><tex>\begin{array}{rcl}G(z) &{}={}& z + z\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}f_{n-1}z^{n-1}+z^2\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}f_{n-2}z^{n-2}, \\G(z) &{}={}& z + z\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}z^n+z^2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f_{n}z^n, \\G(z)&{}={}& \displaystyle z + z(G(z)-f_0)+z^2G(z),\\G(z)&{}={}& \displaystyle z + zG(z)+z^2G(z),\\\end{array}</tex><br> откуда получаем замкнутое выражение для производящей функции:<br><tex>G(z) = \dfrac{z}{1-z-z^2}.</tex><br> Осталось разложить её в ряд (чего требует четвёртый шаг алгоритма). С этой целью нужно разложить знаменатель на множители. Найдем корни уравнения:<br><tex>\displaylines{1-z-z^2 = 0 \crz_1=-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}, z_2=-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.}</tex><br> Таким образом,<br><tex>G(z) = \dfrac{z}{1-z-z^2}=\dfrac{-z}{(z_1-z)(z_2-z)}=\dfrac{z_1/(z_1-z_2)}{z_1-z} + \dfrac{z_2/(z_2-z_1)}{z_2-z}.</tex><br> Нам известно разложение следующей рациональной функции:<br><tex>\dfrac{1}{1-z} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}z^n = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots.</tex><br> Рассмотрим первую дробь и поделим в ней числитель и знаменатель на <tex>z_1</tex>:<br><tex>\dfrac{z_1/(z_1-z_2)}{z_1-z} = \dfrac1{z_1-z_2}\dfrac{1}{1-\dfrac{z}{z_1}} =\dfrac1{z_1-z_2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{z_1^n}.</tex><br> Аналогично (но с делением на <tex>z_2</tex>) поступим со второй дробью:<br><tex>\dfrac{z_2/(z_2-z_1)}{z_2-z} = \dfrac1{z_2-z_1}\dfrac1{1-\dfrac{z}{z_2}} =\dfrac1{z_2-z_1}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{z_2^n}.</tex><br> Таким образом,<br><tex>G(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} f_nz^n =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\biggr(\dfrac{1}{z_1-z_2}\dfrac{1}{z_1^n} + \dfrac{1}{z_2-z_1}\dfrac{1}{z_2^n} \biggr)z^n,</tex><br>

и, следовательно,<br><tex>f_n =\dfrac1{z_1-z_2}\dfrac{1}{z_1^n} + \dfrac1{z_2-z_1}\dfrac{1}{z_2^n}.</tex><br> Данное выражение можно упростить, если обратить внимание на то, что <tex>1/z_1=Примеры-z_2</tex>, <tex>1/z_2=-z_1</tex> и <tex>z_1-z_2=√5</tex>. Подставим <tex>z_1</tex> и <tex>z_2</tex> в предыдущее выражение:<br><tex>f_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left( \biggl( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \biggr)^n - \biggl( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \biggr)^n \right).</tex><br> ===<tex>3</tex> пример===Найдём производящую функцию для последовательности квадратов чисел Фибоначчи: $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, f_k^2,\ldots$. По определению последовательности Фибоначчи выполняется:<br><tex>\left\{ \begin{array}{ll} f_{n+2} = f_{n+1} + f_n \\ f_{n-1} = f_{n+1} - f_n \end{array} \right.</tex><br>Возведя в квадрат и сложив, получим:<br><tex>\begin{array}{rcl}f_{n+2}^2 + f_{n-1}^2 = 2f_{n+1}^2 + 2f_n^2, \\f_{n+2}^2 = 2f_{n+1}^2 + 2f_n^2 - f_{n-1}^2, \\f_{n}^2 = 2f_{n-1}^2 + 2f_{n-2}^2 - f_{n-3}^2.\\\end{array}</tex><br>Обозначим рассматриваемую последовательность <tex>A</tex>, а её члены <tex>a_n</tex>, тогда:<br><tex>a_n = 2a_{n-1} + 2a_{n-2} - a_{n-3}</tex><br> Рекуррентное соотношение:<br><tex>\begin{array}{ll}a_0 = f_0^2 = 1 \\a_1 = f_1^2 = 1 \\a_2 = f_2^2 = 4 \\a_n = 2a_{n-1} + 2a_{n-2} - a_{n-3}, \quad n\geqslant3.\\\end{array}</tex><br> Приведём суммы к замкнутому виду:<br><tex>\begin{array}{ll}A(z) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n = 1 + z + 4z^2 + \displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}(2a_{n-1} + 2a_{n-2} - a_{n-3})z^n, \\A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}a_{n-1}z^n + 2\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}a_{n-2}z^n - \displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}a_{n-3}z^n, \\A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2z\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_nz^n + 2z^2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nz^n - z^3\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n, \\A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2z(A(z) - 1 - z) + 2z^2(A(z) - 1) - z^3A(z), \\A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2zA(z) - 2z - 2z^2 + 2z^2A(z) - 2z^2 - z^3A(z), \\A(z)(1 - 2z - 2z^2 + z^3) = 1 + z + 4z^2 - 2z - 2z^2 - 2z^2 = 1 - z, \\\end{array}</tex><br>откуда получаем замкнутое выражение для производящей функции:<br><tex>G(z) = \dfrac{1 - z}{1 - 2z - 2z^2 + z^3}.</tex><br> ===<tex>4</tex> пример===Рассмотрим следующее рекуррентное соотношение:<br><tex>\begin{array}{rcl}a_0&{}={}&1,\\a_1&{}={}&2,\\a_n&{}={}&6a_{n-1}-8a_{n-2}+n, \quad n\geqslant2.\\\end{array}</tex><br> Следующие действия аналогичны тем, которые мы делали для чисел Фибоначчи:<br><tex>\begin{array}{rcl}\displaystyle a_0 + a_1 z + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{a_n}{z^n} &{}={}& 1+2z+6\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{a_{n-1}}{z^n}-8\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{a_{n-2}}{z^n}+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^n, \\G(z) &{}={}& 1+2z+6z\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{a_{n-1}}{z^{n-1}}-8z^2\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{a_{n-2}}{z^{n-2}}+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^n, \\G(z) &{}={}& 1+2z+6z\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}{z^{n}}-8z^2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}}{z^{n}}+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^n, \\G(z) &{}={} & 1+ 2z + 6z(G(z)-a_0)-8z^2G(z) + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^n.\\G(z) &{}={} & 1 - 4z + 6zG(z)-8z^2G(z) + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^n.\\\end{array}</tex><br> Вспомним, что<br><tex>(z^n)' = nz^{n-1},</tex><br> поэтому<br><tex>\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^n=z\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^{n-1}=z\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}(z^n)'=z\biggl(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}z^n\biggr)'.</tex><br> Последняя сумма может быть свёрнута:<br><tex>\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}z^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}z^n-1-z=\dfrac{1}{1-z}-1-z=\dfrac{z^2}{1-z}.</tex><br> Подставив свёрнутое выражение обратно, имеем,<br><tex>z\biggl(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}z^n\biggr)' = z \biggl(\dfrac{z^2}{1-z}\biggr)'=\dfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}.</tex><br> Таким образом, наше последнее уравнение примет вид<br><tex>G(z) = 1 -4z + 6zG(z)-8z^2G(z) + \dfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}.\\</tex><br> Это уравнение для производящей функции. Из него выражаем <tex>G(z)</tex>:<br><tex>G(z) = \dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}.</tex><br> Разложим знаменатель на множители и разобьём дробь на сумму простых дробей:<br><tex>G(z) = \dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}=\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-2z)(1-4z)(1-z)^2}=\dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}.</tex><br> Дальше мы знаем что делать со всеми этими дробями, кроме, разве лишь, первой. Рассмотрим её (без множителя) подробнее:<br><tex>\dfrac{1}{(1-z)^2} =(1-z)^{-2} =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-2}{n}(-z)^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\binom{n+1}{1}(-z)^n =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n.</tex><br> Теперь соберём ответ:<br><tex>G(z) = \dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n+\dfrac{7}{9}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}z^n-\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2^nz^n+\dfrac{7}{18}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}4^nz^n.</tex><br> Значит,<br><tex>a_n=\dfrac{n+1}{3}+\dfrac{7}{9}-\dfrac{2^n}{2}+\dfrac{7\cdot4^n}{18}=\dfrac{7\cdot4^n+6n+20}{18} - 2^{n-1}.</tex><br>  ==См. также==* [[Производящая функция]]* [[Арифметические действия с формальными степенными рядами]] == Источники информации == * [http://www.genfunc.ru/theory/rsol/ Решение рекуррентных соотношений] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Производящая функция]]