Изменения
→Примеры применения теоремы
* Вычислим производящую функцию последовательности <tex>a_0 = 1, a_n = k \cdot a_{n - 1}</tex>
*: Так как последовательность задана линейной рекуррентойявляется линейно рекуррентной, её производящая функция, согласно теореме, имеет вид <tex>F(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, где <tex>Q(t) = 1 - k \cdot t</tex> (так как <tex>c_1 = k</tex>), а <tex>deg(P) < 2</tex>.
*: Будем искать производящую функцию в виде <tex>F(t) = \dfrac{C}{1 - k \cdot t}, C \in \mathbb{R}</tex>
*: Пусть <tex>F(t) = a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots </tex>, тогда <tex>a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots = \dfrac{C}{1 - k \cdot t}</tex>, следовательно <tex>(a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots a_n \cdot t^n + \ldots) \cdot (1 - k \cdot t) = C</tex>
* Вычислим производящую функцию последовательности Фибоначчи <tex>f_0 = f_1 = 1, f_n = f_{n - 1} + f_{n - 2}</tex>
*: Так как последовательность задана линейной рекуррентойявляется линейно рекуррентной, её производящая функция, согласно теореме, имеет вид <tex>F(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, где <tex>Q(t) = 1 - t - t^2</tex> (так как <tex>c_1 = c_2 = 1</tex>), а <tex>deg(P) < 3</tex>.
*: Будем искать производящую функцию в виде <tex>F(t) = \dfrac{B + At}{1 - t - t^2}, A, B \in \mathbb{R}</tex>
*: Пусть <tex>F(t) = f_0 + f_1 \cdot t + f_2 \cdot t^2 + \ldots + f_n \cdot t^n + \ldots </tex>, тогда <tex>f_0 + f_1 \cdot t + f_2 \cdot t^2 + \ldots + f_n \cdot t^n + \ldots = \dfrac{C}{1 - t - t^2}</tex>, следовательно <tex>(f_0 + f_1 \cdot t + f_2 \cdot t^2 + \ldots + f_n \cdot t^n + \ldots) \cdot (1 - t - t^2) = B + At</tex>
