693
правки
Изменения
→Треугольник Паскаля
[[File:Pascal_triangle_3.png|thumb|600px|right|Рис.<tex>2</tex>]]
Второй способ соответствует нумерации элементов треугольника числом отрезков каждого типа на путях, ведущих в соответствующую точку (рис.<tex>2</tex>) <tex>C_{n,m} = c_{n+m, n} = \dbinombinom{n+m}{m}</tex>. Тогда производящая функция будет иметь вид
<tex>\sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} C_{n, m} x^n y^m = \sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} \binom{n}{k} x^n y^m = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \sum\limits_{n + m = k} \binom{n}{k} x^n y^m = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (x + y)^k = \dfrac{1}{1 -x - y}</tex>
