689
правок
Изменения
Начал пилить.
{{В разработке}}
= Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке =
{{Определение
|definition=
Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального минимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \ge f(x_0)</tex>
Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального максимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \le f(x_0)</tex>
}}
Сами значения <tex> f(x_o) </tex> называются соответственно локальным минимумом и локальным максимумом.
{{Теорема
|author=
Ферма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> существует и дифференцируема в <tex> O(x_0) </tex>, и <tex> x_0 </tex> - точка локального экстремума. Тогда <tex> f'(x_0) = 0.</tex>
|proof=
Рассмотрим случай, когда <tex> x_0 </tex> - точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично.
<tex> \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}</tex>; рассмотрим <tex> \Delta x \approx 0 </tex>.
Заметим, что, по определению локального минимума, <tex> f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \ge 0 </tex>.
Возможны 2 случая для <tex> \Delta x </tex>:
1) <tex> \Delta x < 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \le 0 \Rightarrow f'(x_0) \le 0 </tex>
2) <tex> \Delta x > 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 </tex>
Отсюда, <tex> f'(x_0) = 0 </tex>
}}
= Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке =
{{Определение
|definition=
Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального минимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \ge f(x_0)</tex>
Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального максимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \le f(x_0)</tex>
}}
Сами значения <tex> f(x_o) </tex> называются соответственно локальным минимумом и локальным максимумом.
{{Теорема
|author=
Ферма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> существует и дифференцируема в <tex> O(x_0) </tex>, и <tex> x_0 </tex> - точка локального экстремума. Тогда <tex> f'(x_0) = 0.</tex>
|proof=
Рассмотрим случай, когда <tex> x_0 </tex> - точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично.
<tex> \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}</tex>; рассмотрим <tex> \Delta x \approx 0 </tex>.
Заметим, что, по определению локального минимума, <tex> f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \ge 0 </tex>.
Возможны 2 случая для <tex> \Delta x </tex>:
1) <tex> \Delta x < 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \le 0 \Rightarrow f'(x_0) \le 0 </tex>
2) <tex> \Delta x > 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 </tex>
Отсюда, <tex> f'(x_0) = 0 </tex>
}}
