Изменения

<tex>f(x)=1+(\alpha_1-\beta_1)x+\gamma x^2+...</tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1 - \beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению теоремы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции f имеем <tex>\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1)x+\overlinetilde{\gamma}x^2+...</tex>. Поэтому для некоторой постоянной C при достаточно маленьком x имеем <tex>|\ln f(x) = (\alpha_1 - \beta_1)x|<Cx^2</tex>. В частности, если N достаточно велико, то <tex>&forall; n>N</tex><br><tex>|\ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n}|<C \frac{1}{n^2}</tex>,<br><tex>|\ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}|<C \frac{1}{(n+1)^2}</tex>,<br><tex>........</tex><br><tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}|<C \frac{1}{(n+m)^2}</tex>.<br>Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства (4.6) можно оценить с помощью системы (4.10) и неравенства треугольника:<br><tex>| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)( \ln {n+m} - \ln n)| = | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - ... + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {n+m} - \ln n)| \le | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}| + ... + | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n | \le C(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + ... + \frac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n |</tex>.