Изменения

<tex>| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)( \ln {n+m} - \ln n)| = | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - ... + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {n+m} - \ln n)| \le | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}| + ... + | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n | \le C(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + ... + \frac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n |</tex>.

<tex>= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - ... + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {n+m} - \ln n)| \le</tex> <tex>\le | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}| + ... + | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n | \le</tex> <tex>\le C(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + ... + \frac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n |</tex>. Поскольку ряд <tex>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших n можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\frac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>, см рис. 4.1  [[Файл:InkedOiGdtVITsP10_LI.pngjpg|300px|center]]   (Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {n+m-1} - \ln {n - 1}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>|(\ln {n+m-1} - \ln {n-1}) - (- \ln {n+m} + \ln n)| = | \ln {1 - \frac{1}{n+m}} - \ln {1 - \frac{1}{n}}| < |\ln {1 - \frac{1}{n}}| < C \frac{1}{n}</tex>.