Изменения

===Расширенный алгоритм Евклида===

В стандартном алгоритме, мы использовали следующее свойство: <tex>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)</tex>. Воспользуемся им для того, чтобы решить следующую задачу: найти <tex>x</tex> и <tex>y</tex> такие, что <tex>a \cdot x + b \cdot y = \gcd(a, b)</tex>. Пусть мы нашли пару <tex>x_1, y_1: \: b \cdot x_1 + (a \bmod b) \cdot y_1 = \gcd(a, b)</tex>.

b \cdot \left(x_1 - \lfloor \dfrac{a}{b}\rfloor \cdot y_1\right) + a \cdot y_1</tex>. Следовательно, приходим к расширенному алгоритму Евклида:

<font color="green">// Алгоритм возвращает тройку <tex>\gcd, x, y</tex></font>