Изменения
→Проекторы Шаудера
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} вполне непрерывен на ограниченном <tex> D </tex>, <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно.
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdotsldots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.
Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdotsldots, p, \forall y \in M: </tex>
<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
Коэффициенты <tex> \frac {\mu_j(y)} {S(y)} </tex> обозначим за <tex> \alpha_j(y) </tex>. Из определения следует, что <tex> \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) = 1 </tex>, то есть, <tex> P_\varepsilon(y) </tex> есть выпуклая комбинация точек <tex> \varepsilon </tex> сети для любого <tex> y </tex>.
<tex> P_\varepsilon(M) \subset \mathcal{L}(y_1, \hdotsldots, y_p) </tex>
Если <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} выпуклое множество, то <tex> P_\varepsilon(y) \in M </tex>, как выпуклая комбинация точек <tex> y_1, \hdotsldots, y_p </tex>.
Рассмотрим <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y_j - \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| </tex>.
Применяя теорему Брауэра, получаем, что <tex> \forall n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>.
Учитывая, что <tex> M_1 \cup M_2 \cup \hdots ldots </tex> относительно компактно, из <tex> \{ x_n \} </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность: <tex> \exists x_{n_k} \to x^* \in M </tex>.
<tex> \| x^* - \mathcal{T}x^* \| = \| \lim(x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k}) \| </tex>.
