Изменения
Нет описания правки
Возводя её в квадрат, по определению [[Арифметические действия с формальными степенными рядами#def_mul | произведения формальных степенных рядов]], получаем <tex>B(x) = A^2(x) = \dfrac{1}{1 - x} \cdot \dfrac{1}{1 - x} = (\sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^n) \cdot (\sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^n) = </tex>
<tex> = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} x^n \cdot (\sum\limits_{i = 0}^{n}([x^i]A(x) \cdot [x^{n - i}]A(x))) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} x^n \cdot (\sum\limits_{i = 0}^{n}(1 \cdot 1)) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot x^n</tex>
То есть <tex>\dfrac{1}{(1 - x)^2} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot x^n</tex>
<tex>C(x) = \dfrac{1}{(1 - x)^2} \cdot \dfrac{1}{(1 + x)^2} = (\sum\limits_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot x^n) \cdot (\sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \cdot (n + 1) \cdot x^n) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^n \cdot \sum\limits_{i = 0}^{n}((i + 1) \cdot (-1)^{n - i} \cdot (n - i + 1))</tex>
Рассмотрим <tex>[x^{2k + 1}]C(x)</tex>
<tex>[x^{2k + 1}]C(x) = \sum\limits_{i = 0}^{2k + 1}((i + 1) \cdot (-1)^{2k + 1 - i} \cdot (2k + 2 - i))</tex>
