689
правок
Изменения
Сделал чуть более адекватную разметку статьи, сейчас буду улучшать содержание.
}}
=== Примеры Пример(ы) ===
#<tex> X = \mathbb R, A = (0; 1);\ 0 \notin A</tex>, <tex>0</tex> {{---}} предельная точка(как и <tex>1</tex>, например).
:: <tex>\forall \varepsilon > 0\ \ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon </tex>
{{Определение
|definition=
Если при <tex>a \in A выполняется \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)</tex>, тогда говорят, что отображение <tex>f</tex> '''непрерывно''' в точке <tex>a</tex>.
}}
== Предел сложного отображения ==
Если <tex>f</tex> имеет предел, то в ситуации общих МП:
#: <tex> A \subset X,\ B \subset Y, Z</tex>. <tex>X, Y, Z</tex> {{---}} МП, у каждого своя метрика.
#: <tex>a</tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>, <tex>b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)</tex>, тогда <tex>b</tex> предельная у B, при этом:
: <tex>f: A \Rightarrow B, f(x) \ne b, x \in A</tex>
: <tex>g \circ f(x) = g(f(x)). \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y): </tex>
|proof=
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : 0 < \bar \rho (y, b) < \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g / y, d) < \varepsilon \\
\forall \delta_1 > 0 \, \exists \delta > 0 : 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 </tex>
:<tex>f(x) \ne b \Rightarrow 0 < \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 </tex>, а тогда <tex>y = f(x) </tex>
:<tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar{\bar \rho} (g(y), d) < \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} g(f(x)) = d </tex>( у сложной функции предел совпадает с пределом внешней фукнции) }}Итак, <tex>\Rightarrow</tex> сложная фукнция от двух непрерывных {{---}} непрерывна.
== Некоторые непрерывные отображения ==
{{Теорема
|statement=
: <tex> f(x) = \rho(x, a) </tex>
: <tex> f: X \rightarrow R_+ </tex>
Проверим, что \forall x f - непрерывное отображение.
: <tex> \rho(x_2, a) <= \rho(x_1, a) + \rho(x_2, x_1) </tex>
: <tex> \rho(x_1, a) <= \rho(x_2, a) + \rho(x_1, x_2) </tex>
: <tex> |f(x_2) - f(x_1)| <= \rho(x_2, x_1) \forall x \Rightarrow f(x) </tex> непрерывна
<tex> \delta = \varepsilon </tex> - используем определение непрерывности отображения, полагаем в предыдущем неравенстве <tex> x_1 = x, x_2 = x_0 </tex>(мы доказываем непрерывность в точке <tex> x_0 </tex>) и радуемся жизни.
}}
{{Определение
|definition=
:<tex> f(x) = \rho(x, A) =(def) inf \rho(x, a), a \in A </tex> - расстояние от x до A.
}}
{{Теорема|statement=
<tex> f(x) </tex> - непрерывна,
: <tex> \rho(x_1, A) <= \rho(x_2, A) + \rho(x_2, x_1) </tex>
: <tex> \rho(x_2, A) <= \rho(x_1, A) + \rho(x_2, x_1) </tex>
: <tex> |\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| <= \rho(x_1, x_2) \Rightarrow f(x) </tex> непрерывна при?????
}}
{{ТеоремаУтверждение:|statement=
F - замкнуто <tex> \Rightarrow x \in F \Leftrightarrow \rho(x, F) = 0 </tex>
: <tex> \rho(x, F) = inf \rho(x, a), a \in F </tex>
: <tex> \rho(x, x) = 0, \rho >= 0 \Rightarrow inf ?????? \rho(x, F) = 0, \Leftarrow x \in F </tex>
Обратно:
<strike>: <tex> x \in F \Rightarrow \rho(x, x) = 0 ; inf \rho(x, a) = 0 (т.к. \rho >= 0) \Rightarrow \rho(x ???? \forall a \in F </tex></strike> Бредовня это все!}}
{{Теорема
