89
правок
Изменения
Нет описания правки
Самый простой способ сделать это {{---}} последовательно считать каждый <tex>a_i</tex>, пока <tex>i</tex> не сравняется с <tex>n</tex>. Однако этот способ не самый эффективный, ведь он, очевидно, требует <tex>O(n \cdot k)</tex> времени. Хочется уметь как-то быстрее решать эту задачу. Рассмотрим два способа это сделать.
== Первый способ Умножение матриц (за <tex>O(k^3 \cdot logn)</tex>) ==
Заметим, что линейные рекурренты хорошо выражаются через матрицы. Запишем наши первые <tex>k</tex> членов последовательности в столбик.
Используя быстрое возведения в степень второй пункт будет тратить <tex>O(k^3 \cdot logn)</tex> времени, умножение же в третьем пункте выполняется за <tex>O(k^2)</tex>. Итого мы получили алгоритм за <tex>O(k^3 \cdot logn)</tex>.
== Связь с многочленами (за <tex>O(k^2 \cdot logn)</tex>) ==
Вспомним, что по [[Теорема о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности|теореме о связи рекурренты и многочленов]] наша реккурента эквивалента некому многочлену <tex>A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, при это <tex>Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \cdots - c_k \cdot t^k</tex>. Домножим числитель и знаменатель на <tex>Q(-t)</tex>. Новый знаменатель <tex>R(t) = Q(t) \cdot Q(-t)</tex>. При этом <tex>r_n = \sum\limits_{i = 0}^{n} q_i \cdot q_{n - i} \cdot (-1)^{n - i}</tex>
