142
правки
Изменения
Нет описания правки
===18. Непрерывный линейный функционал и его норма.===
{{Определение
|definition=
Линейный функционал <tex>f</tex> '''ограничен''', если <tex>\|f\| = \sup\limits_{\|x\| \leq 1} |f(x)| < +\infty</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Линейный функционал <tex>f</tex> '''непрерывен''' в <tex>x</tex>, если
<tex>\forall \{x_n\} : x_n \to x \Rightarrow f(x_n) \to f(x)</tex>
}}
{{Лемма
|statement=
<tex>f</tex> непрерывен в <tex>x</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>f</tex> непрерывен в <tex>0</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> непрерывен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>f</tex> ограничен
}}
===19. Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра.===
{{Определение
|definition=
'''Ядро''' линейного функционала <tex>Ker f = \{x \mid f(x) = 0\}</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> непрерывен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>Ker f</tex> замкнуто
}}
===20. Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП.===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - НП, <tex>Y</tex> всюду плотно в <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - ограниченный линейный функционал из <tex>Y</tex>. Тогда <tex>\exists !g : X \to \mathbb{R} : g(y) = f(y),\; \|g\| = \|f\|</tex> (существует единственное продолжение, сохраняющее норму)
}}
===21. Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай).===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - линейное множество с введенной на нем полунормой <tex>p(x)</tex>, <tex>Y \subset X</tex>, <tex>f : Y \to \mathbb{R}</tex>, <tex>|f(y)| \leq p(y)</tex> (то есть функционал подчинен полунорме), <tex>z \notin Y</tex>, <tex>Z = L(Y, z)</tex>. Тогда <tex>\exists g : Z \to \mathbb{R} : g(y) = f(y),\; g(x) \leq p(x)</tex>
}}
{{Теорема
|author=Хан - Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - линейное множество с введенной на нем полунормой <tex>p(x)</tex>, <tex>Y \subset X</tex>, <tex>f : Y \to \mathbb{R}</tex>, <tex>|f(y)| \leq p(y)</tex>. Тогда <tex>\exists g : X \to \mathbb{R} : g(y) = f(y),\; g(x) \leq p(x)</tex>, то есть продолжение <tex>f</tex>
}}
===22. Два следствия из теоремы Хана-Банаха.===
'''Следствие 1''': <tex>X</tex> - НП, <tex>x_0 \in X</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\exists f : f(x_0) = \|x_0\|,\; \|f\| = 1</tex>
'''Следствие 2''': <tex>X</tex> - НП, <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</tex> - ЛНЗ <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\exists \{f_1, f_2, \ldots, f_n\} : f_i(e_j) = \delta_{ij}</tex> (биортогональная система)
===23. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в Н.===
{{Теорема
|author=Рисс
|statement=
<tex>\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle</tex>, причем <tex>\|f\| = \|y\|</tex>
}}
===24. Непрерывный линейный оператор и его норма.===
{{Определение
|definition=
Линейный оператор <tex>A</tex> '''ограничен''', если <tex>\|A\| = \sup\limits_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| < +\infty</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Линейный оператор <tex>A</tex> '''непрерывен''' в <tex>x</tex>, если
<tex>\forall \{x_n\} : x_n \to x \Rightarrow Ax_n \to Ax</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>A</tex> непрерывен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>A</tex> ограничен
}}
===25. Продолжение линейного оператора по непрерывности.===
{{Лемма
|statement=
<tex>A: X_1 \to Y,\; Cl\;X_1 = X,\; Y</tex> - Банахово, <tex>\|A\| < +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists !\tilde{A} : X \to Y : \tilde{A}x = Ax,\; \|\tilde{A}\| = \|A\|</tex>
}}
===26. Полнота пространства L(X,Y).===
{{Определение
|definition=
<tex>L(X,Y)</tex> - пространство непрерывных линейных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>
}}
{{Лемма
|statement=
<tex>Y</tex> - Банахово <tex>\Rightarrow L(X,Y)</tex> - Банахово
}}
===27. Теорема Банаха-Штейнгауза.===
{{Теорема
|author=Банах - Штейнгауз
|statement=
Пусть <tex>\forall x : \sup\limits_n\|A_nx\| < +\infty</tex> (то есть последовательность поточечно ограничена). Тогда <tex>\sup\limits_n\|A_n\| < +\infty</tex> (то есть последовательность равномерно ограничена)
}}
===28. Условие непрерывной обратимости лин. оператора.===
{{Теорема
|author=Банах
|statement=
Пусть <tex>A</tex> - биективный линейный ограниченный оператор из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> (оба Банаховы). Тогда <tex>\exists A^{-1}:Y \to X,\; \|A^{-1}\| < +\infty</tex>
}}
===29. Теорема Банаха о непрерывной обратимости I-С.===
{{Теорема
|author=Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - Банахово, <tex>C \in L(X),\; \|C\| < 1</tex>. Тогда <tex>I - C</tex> непрерывно обратим.
}}
===30. Теорема Банаха об обратном операторе.===
стопстопстоп, а о чем же тогда 28?
===31. Теорема о замкнутом графике.===
{{Теорема
|statement=
<tex>A</tex> непрерывен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>G_A</tex> замкнут
}}
===32. Теорема об открытом отображении.===
{{Теорема
|statement=
<tex>A</tex> непрерывен, <tex>G</tex> - открыто <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A(G)</tex> - открыто
}}
===33. Теорема об открытости резольвентного множества.===
{{Определение
|definition=
'''Резольвентное множество''' линейного оператора <tex>\rho(A) = \{\lambda \mid \exists (A - \lambda I)^{-1}</tex> - непрерывный<tex>\}</tex>
}}
{{Определение
|definition=
'''Спектр''' линейного оператора <tex>\sigma(A) = \mathbb{R} \setminus \rho(A)</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>\rho(A)</tex> открыто
}}
===34. Вхождение спектра в круг радиуса ||А||.===
{{Лемма
|statement=
<tex>\sigma(A) \subset \{\lambda \mid |\lambda| \leq \|A\| \}</tex>
}}
===35. Спектральный радиус.===
{{Определение
|definition=
'''Спектральный радиус''' <tex>r_{\sigma}(A) = \inf\limits_n \sqrt[n]{\|A^n\|}</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Относительно спектрального радиуса любого линейного оператора верны следующие утверждения:
#<tex>r_{\sigma}(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A\|^n}</tex>
#<tex>\sigma(A) \subset \{\lambda \mid |\lambda| \leq r_{\sigma}(A) \}</tex>
}}
===36. Аналитичность резольвенты.===
===37. Непустота спектра ограниченного оператора.===
===50. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е.===
===51. Альтернатива Фредгольма-Шаудера.===
===52. О спектре компактного оператора.===
