142
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|author=Банах
|statement=
Пусть <tex>A</tex> - биективный ограниченный линейный ограниченный оператор из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> и <tex>\exists m\; \forall x \in X : m \|x\| \leq \|Ax\|</tex>. Тогда <tex>R(оба БанаховыA). Тогда </tex> замкнуто, <tex>\exists A^{-1}:Y \to X,\; \|A^{-1}\| < +\infty</tex>
}}
===30. Теорема Банаха об обратном операторе.===
===31. Теорема о замкнутом графике.===
===37. Непустота спектра ограниченного оператора.===
===38. А* и его ограниченность.===
{{Определение
|definition=
'''Сопряженным''' к оператору <tex>A : X \to Y</tex> называется такой оператор <tex>A^* : Y^* \to X^*</tex>, что <tex>A^* \varphi = \varphi \circ A</tex>, то есть <tex>A^*\varphi = f : f(x) = \varphi(Ax)</tex>
}}
{{Лемма
|statement=
<tex>\|A\|=\|A^*\|</tex>
}}
===39. Ортогональные дополнения Е и Е*.===
{{Определение
|definition=
'''Ортогональным дополнением''' линейного множества <tex>M \subset E</tex> называется множество <tex>M^{\perp} = \{f \in E^* \mid \forall x \in M f(x) = 0\}</tex>.
<tex>M^{*\perp} = \{x \in E \mid \forall f \in M^* f(x) = 0\}</tex>. Заметим, что из непрерывности функционалов следует замкнутость ортогональных дополнений.
}}
{{Лемма
|statement=
<tex>E^{\perp} = \{0\},\; E^{*\perp} = \{0\}</tex>
}}
===40. Ортогональное дополнение R(A).===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>A</tex> - ограниченный ЛО, <tex>R(A)</tex> замкнуто. Тогда <tex>R(A) = (Ker A^*)^{\perp}</tex>
}}
===41. Ортогональное дополнение R(A*).===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>A</tex> - ограниченный ЛО, <tex>R(A)</tex> замкнуто. Тогда <tex>R(A^*) = (Ker A)^{\perp}</tex>
}}
===42. Арифметика компактных операторов.===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''компактен''', если <tex>\forall G : G</tex> - открытое <tex>\Rightarrow A(G)</tex> - относительно компактно
}}
{{Лемма
|statement=
Компактные операторы обладают следующими свойствами:
#<tex>A</tex> - компактный, <tex>B</tex> - ограниченный <tex>\Rightarrow</tex> <tex>AB</tex> и <tex>BA</tex> - компактные
#<tex>A_n</tex> - компактные, <tex>A_n \to A</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A</tex> - компактный
#<tex>A : X \to Y</tex> - компактный, <tex>X</tex> - бесконечномерно <tex>\Rightarrow</tex> оператор <tex>A</tex> не может быть непрерывно обратим
}}
===43. О компактности А*, сепарабельность R(A).===
{{Теорема
|statement=
<tex>A</tex> - компактный <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A^*</tex> - компактный
}}
===44. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.===
{{Определение
|definition=
Система точек <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots \} \subset X</tex> называется '''базисом Шаудера''', если любой элемент пространства <tex>X</tex> единственным образои представим в виде линейной комбинации этих точек
}}
===45. Почти конечномерность компактного оператора.===
{{Теорема
|statement=
<tex>A</tex> - компактный <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\forall \varepsilon \; \exists B, C : A = B+C,\; \|C\| < \varepsilon,\; B</tex> - конечномерный (то есть <tex>R(B)</tex> конечномерно)
}}
===46. О размерности Ker(I-A) компактного А.===
===47. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения.===
