Изменения

Вернемся к доказательству нашей теоремы. Будем пытаться доказать от противного. Пусть у нас существует граф, который требует хотя бы <tex>5</tex> цветов для раскраски. Среди всех таких графов существует минимальный, то есть такой, что удаление любой вершины из него делает его <tex>4</tex>-раскрашиваемым. Тогда в таком графе не может быть вершины степени <tex> \leqslant 3</tex>, так как иначе мы может просто удалить ее из графа, раскрасить полученный граф в <tex>4</tex> цвета, вернуть удаленную вершину и покрасить ее в один из цветов, не занятых соседями. Аналогично [[Хроматическое_число_планарного_графа#Раскраска_в_5_цветов|теореме Хивуда]] доказывается, что удалив вершину степени <tex>4</tex> также всегда можно раскрасить граф в <tex>4</tex> цвета. Следовательно , и таких вершин в искомом графе нет. Для вершины степени <tex>5</tex> Кемпе попытался доказать аналогичное утверждение, но это утверждение и было опровергнуто Хивудом.

На этом этапе мы и натыкаемся на самую сложную часть доказательства. Имея дело с со случаем вершины степени <tex>5</tex>, требуются более сложные операции, чем удаление вершины. Тогда вместо <tex>1</tex> вершины будем рассматривать связанный подграф из нескольких вершин (назовем его '''конфигурацией'''). Тогда для некоторых случаев, как и прежде, достаточно продемонстрировать, что если при удалении конфигурации граф <tex>4</tex>-раскрашиваемый, то окраска может быть изменена таким образом, что при возвращении конфигурации граф также можно раскрасить в <tex>4</tex> цвета. Конфигурации для которых это возможно назовем '''сводимыми'''. Например, конфигурация состоящая из <tex>1</tex> вершины степени <tex>\leqslant 4</tex> является сводимой (было доказано выше). '''Неизбежными''' конфигурациями назовем такие '''множества''' конфигураций, что хотя бы одна из конфигураций этого множества обязана быть в нашем графе.

|proof=Присвоим каждой вершине <tex>v</tex> некую величину {{---}} '''груз''' <tex>=6-deg(v)</tex>. Предположим что наше утверждение неверно. Следовательно , в графе нет вершин степени <tex>\leqslant 4</tex>. Тогда положительный груз есть только у вершин степени <tex>5</tex> (и он равен единице), у вершин степени <tex>6</tex> груз <tex>=0</tex>, а у всех остальных он отрицательный. По доказанному выше утверждению, мы знаем что сумма грузов по всем вершинам <tex>=12 > 0</tex>. Значит вершины степени <tex>5</tex> должны компенсировать все отрицательные грузы других вершин. Пусть каждая такая вершина отдает по <tex>\dfrac{1}{5}</tex> своего груза соседям. Тогда у всех вершин степени <tex>5</tex> и <tex>6</tex> груз останется равен <tex>0</tex> (помним что вершины степени <tex>6</tex> не смежны с вершинами степени <tex>5</tex> по предположению). Рассмотрим все остальные вершины. Так как мы проводим доказательство для триангулированных графов, то у вершины степени <tex>i</tex> не может быть больше чем <tex>\bigg\lfloor\dfrac{i}{2}\bigg\rfloor</tex> соседей степени <tex>5</tex>. Однако <tex>(6 - i) + \dfrac{1}{5}\bigg\lfloor\dfrac{i}{2}\bigg\rfloor < 0</tex> для <tex>i \geqslant 7</tex>, следовательно , сумма грузов отрицательна. Получено противоречие.