66
правок
Изменения
Нет описания правки
}}
Разберемся с условием. Мы хотим доказать, что побитовый $\mathrm {xorXOR}$ с $2m+1$ аргументами выражается с помощью медианы с $2m+1$ аргументом. Аргументами медианы является набор $\{s_i\}$, получаемый следующим образом:
* Выпишем последовательность $x_1, x_2, \ldots, x_{2m}$
* Первую половину аргументов (а их ровно $m$) возьмем с отрицанием ($\neg x_1, \neg x_2, \ldots, \neg x_m, x_{m+1}, x_{m+2}, \ldots, x_{2m}$)
|proof=
Пусть $A_i$ {{---}} множество аргументов $s_i$ с отрицанием, $B_i$ {{---}} без отрицания. Оба множества по условию мощности $m$.
Пусть среди $A_i$ ровно $a_i$ переменных равны $1$единице, тогда оставшиеся $(m - a_i)$ из них {{---}} нули.
Аналогично среди $B_i$ ровно $b_i$ единиц и $(m - b_i)$ нулей.
Самостоятельные единицы $s_i$ получаются из нулей среди $A_i$ и единиц среди $B_i$. Тогда в $s_i$ будет $(m - a_i) + b_i$ самостоятельных единиц.
Давайте найдем $s_j$, в которой среди $A_j$ единиц столько же, сколько и среди $B_j$. Тогда в ней будет $a_j = b_j$, из чего и будет следовать требуемое.
Рассмотрим любую $s_k$. Будем считать, что в $A_k$ меньше половины единиц ($a_k < t$), иначе рассмотрим двойственную ей, в ней будет меньше половины, или, если равенство, то мы уже нашли такую.
Будем последовательно сдвигать отрицания вправо на одну позицию, переходя от $s_l$ к $s_{l+1}$. То есть мы начинаем с $s_l = s_k$, а дальше перебираем $s_l$-ые, переходя к следующей (и увеличивая параметр $l$ на единицу). За каждый сдвиг количество единиц в $A_l$ может измениться только на 1.
Действительно, если в $A_l$ добавились и ушли разные числа, то количество единиц изменилось на $1$ (увеличилось или уменьшилось), а если одинаковые {{---}} то не поменялось.
Таким образом, сделав $m$ шагов, мы дойдем от $s_l$ до $\neg s_l$, причем количество единиц в $A_l$ будет изменяться не более, чем на $1$. Изначально оно было $a_l$, а станет {{---}} $2t - a_l$.
#* Тогда в каждой $s_i$ будет стоять вместо него $0$, то есть количество аргументов-единиц в точности равно количеству самостоятельных единиц.
#* Пусть $k_i \geqslant m + 1 \Rightarrow k_{i + m} \leqslant m - 1$ (и аналогично с противоположным знаком) $\Rightarrow$ в обычных парах одна $s_i$ будет равна $1$, а вторая $0$.
#* При нечетном количестве единиц особенных пар не будет, будет только ровно $m$ обычных пар, из каждой ровно одна $s_i$ даст единицу. Тогда среди всех $s_i$ будет ровно $m$ единиц, и, подставив их в конечную медиану, вместе с $\neg x_0 = 1$, получим ровно $m + 1$ аргумент, равный $1$. Тогда медиана вернет $1$, что и должен вернуть $\oplusmathrm {XOR}$ нечетного числа единиц.#* При четном количестве у нас найдется особенная пара, а в этих $s_i$ и $\neg s_{i}$ ровно по $m$ самостоятельных единиц, а значит, они обе будут равны $0$. Тогда всего среди $s$ будет не более $(m - 1) s_i$ равных одному, значит, конечная медиана вернет $0$, что и нужно при $\oplusmathrm {XOR}$ -е четного числа единиц.
# $x_0 = 1$
#* Тогда в каждой $s_i$ будет стоять вместо него $1$, то есть количество аргументов-единиц для $s_i$ на один больше количества самостоятельных единиц.
#* Пусть $k_i \geqslant m + 1 \Rightarrow k_{i + m} \leqslant m - 1$ (и аналогично с противоположным знаком) $\Rightarrow$ по-прежнему (тут с учетом $x_0 = 1$) в обычных парах одна $s_i$ будет равна $1$, а вторая $0$.
#* При нечетном количестве единиц особенных пар нет, будет снова только ровно $m$ обычных пар, из каждой ровно одна $s_i$ даст единицу. Тогда среди всех $s_i$ будет ровно $m$ единиц, и, подставив их в конечную медиану, вместе с $\neg x_0 = 0$, получим ровно $m$ аргументов, равных $1$. Тогда медиана вернет $0$, что и должен вернуть $\oplusmathrm {XOR}$ четного числа единиц.#* При четном количестве у нас найдется особенная пара, а в этих $s_i$ и $\neg s_{i}$ ровно по $m$ самостоятельных единиц, а значит, они обе будут равны $1$, ведь вместе с $x_0 = 1$ среди аргументов медиан будет по $m + 1$ единиц. Тогда всего среди $s_i$ будет не менее $m + 1$ $s_i = 1$, значит, конечная медиана вернет $1$, что и нужно при $\oplusmathrm {XOR}$ нечетного числа единиц.
}}
