Изменения

|definition='''Клика''' (англ. ''clique'') в [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы|неориентированном графе ]] <tex>G(V, E)</tex> {{---}} подмножество [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы|вершин ]] <tex>C \subseteq V</tex>, такое что для любых двух различных вершин в <tex>C</tex> существует [[Основные определения теории графов#def_edge_und|ребро]], их соединяющее. Другими словами, клика графа <tex>G(V, E)</tex> {{---}} [[Основные определения теории графов#defFullGraph|полный ]] подграф графа <tex>G(V, E)</tex>. }}

Часто Несложно доказать, что данные определения эквивалентны. Достаточно показать, что раскрашенному в два цвета графу <tex>K_n</tex>, можно однозначно поставить в соответствие граф <tex>G</tex> на <tex>n</tex> вершинах. Довольно часто определение для чисел Рамсея дается через задачу "о друзьях и незнакомцах"<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Theorem_on_friends_and_strangers| Theorem on friends and strangers]</ref>. Пусть на вечеринке каждые два человека могут быть либо друзьями, либо незнакомцами, в общем виде задачи требуется найти, какое минимальное количество людей нужно взять, чтобы хотя бы <tex>n</tex> человек были попарно знакомы, или хотя бы <tex>m</tex> человек были попарно незнакомы. Если мы переформулируем данную задачу в терминах графов, то как раз получим определение числа Рамсея <tex>r(n, m)</tex>, представленное ранее.

Чтобы доказать, что <tex>r(3,3) = 6 </tex>, предъявим такую раскраску графа <tex>K_5</tex>, где нет клики на трех вершинах ни синего, ни красного цвета. Такая раскраска представлена на рисунке справа.  Понятно, что предъявлять отдельные раскраски для <tex> K_4</tex>, <tex>K_3</tex> не нужно, так как достаточно взять соответствующие подграфы раскрашенного <tex>K_5</tex>.

<tex>1)</tex> # Докажем с помощью метода математической индукции по <tex>n+m</tex>. <br>'''База:''' <tex>r(n,\;1) = r(1,\;n) = 1</tex>, так как граф, состоящий из одной вершины, можно считать полным графом любого цвета. <br>'''Индукционный переход:''' Пусть <tex>n>1</tex> и <tex>m>1</tex>. Рассмотрим полный чёрно-белый граф из <tex>r(n-1,\;m)+r(n,\;m-1)</tex> вершин. Возьмём произвольную вершину <tex>v</tex> и обозначим через <tex>M</tex> и <tex>N</tex> множествавершин, инцидентные инцидентных <tex>v</tex> в чёрном и белом подграфе соответственно. Так как в графе <tex>r(n-1,\;m)+r(n,\;m-1)=|M|+|N|+1 </tex> вершин, согласно принципу Дирихле, либо <tex>|M|\geqslant r(n-1,\;m)</tex>, либо <tex>|N|\geqslant r(n,\;m-1)</tex>. Пусть <tex>|M|\geqslant r(n-1,\;m)</tex>. Тогда либо в <tex>M</tex> существует белый <tex>K_m</tex>, что доказывает теорему, либо в <tex>M</tex> есть чёрный <tex>K_{n-1}</tex>, который вместе с <tex>v</tex> образует чёрный <tex>K_n</tex>, в этом случае теорема также доказана. Случай <tex>|N|\geqslant r(n,\;m-1)</tex> рассматривается аналогично. <tex>2)</tex> # Предположим, <tex>p=r(n-1,\;m)</tex> и <tex>q=r(n,\;m-1)</tex> оба чётны. Положим <tex>s=p+q-1</tex> и рассмотрим чёрно-белый граф из <tex>s</tex> вершин. Если <tex>d_i</tex> степень <tex>i</tex>-й вершины в чёрном подграфе, то, согласно [[Лемма о рукопожатиях|лемме о рукопожатиях]], <tex>\sum_sum\limits_{i=1}^s d_i</tex> — чётно. Поскольку <tex>s</tex> нечётно, должно существовать чётное <tex>d_i</tex>. Не умаляя общности, положим, что <tex>d_1</tex> чётно. Обозначим через <tex>M</tex> и <tex>N</tex> вершины, инцидентные вершине <tex>1</tex> в чёрном и белом подграфах соответственно. Тогда <tex>|M|=d_1</tex> и <tex>|N|=s-1-d_1</tex> оба чётны. Согласно принципу Дирихле, либо <tex>|M|\geqslant p-1</tex>, либо <tex>|N|\geqslant q</tex>. Так как <tex>|M|</tex> чётно, а <tex>p-1</tex> нечётно, первое неравенство можно усилить, так что либо <tex>|M|\geqslant p</tex>, либо <tex>|N|\geqslant q</tex>. Предположим <br> Далее проводим рассуждения, аналогичные тем, что присутствуют в первом пункте теоремы. Таким образом, <tex>|M|\geqslant p=r(n-1,\;m)</tex>. Тогда либо подграф\leqslant r(n, порождённый множеством <tex>M</tex>, содержит белый <tex>K_m</tex> и доказательство завершено, либо он содержит чёрный <tex>K_{nm-1}</tex>, который вместе с вершиной <tex>1</tex> образует чёрный <tex>K_n</tex>. Случай <tex>|N|\geqslant q=)+r(n-1,\;m) -1)</tex> рассматривается аналогично.

{{Теорема|id=ter2|about=2, Теорема Эрдеша

Зафиксируем множество различных помеченных вершин <tex>v_1,\ldots,v_n</tex>. Пусть <tex>g(n,k)</tex> {{---}} доля среди всех помеченных графов на вершинах <tex>v_1,\ldots,v_nn</tex> вершинах тех графов, что содержат клику на <tex>k</tex> вершинах. Всего графов на наших вершинах, очевидно <tex>2^{C^2_n}</tex> (каждое из возможных рёбер <tex>C^2_n</tex> можно провести или не провести).

<tex>g(n,k) \leqslant \dfrac{C^k_n\cdot 2^{C^2_n-C^2_k}}{2^{C^2_n}}=\dfrac{n!}{(n-k)!\cdot k! \cdot 2^{C^2_k}}=\dfrac{(n-k+1)\cdot(n-k+2)\cdot\ldots \cdot(n-1)\cdot n}{ k! \cdot 2^{C^2_k}}<\dfrac{n^k}{k!\cdot 2^{C^2_k}}</tex> <tex>(*)</tex>

Предположим, что <tex>r(k,k)=n<2^{k/2}</tex> и разобьём все графы на <tex>n</tex> вершинах на пары <tex>\langle G, \overline G\rangle</tex> (граф и его дополнение) . Так как <tex>g(n,k)<\dfrac12</tex>, то существует пара<tex>\langle G, \overline G \rangle</tex>, в которой ни <tex>G</tex>, ни <tex>\overline G</tex> не содержат клики подграфа на <tex>k</tex> вершинах. Рассмотрим раскраску рёбер <tex>K_n</tex> в два цвета, в которой ребра цвета <tex>1</tex> образуют граф <tex>G</tex>. В такой раскраске нет клики на <tex>k</tex> вершинах ни цвета <tex>1</tex>, ни цвета <tex>12</tex>, получили противоречие. Значит <tex>n</tex> было выбрано неверно. Из этого следует <tex>r(k,k) \geqslant 2^{k/2}</tex>.

Задача нахождения точных значений чисел Рамсея чрезвычайно трудна, их известно довольно мало. Далее приведена таблица Станислава Радзишевского <ref>[http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/DS1| Small Ramsey Numbers by Stanisław Radziszowski]</ref>, в которой присутствуют практически все известные числа Рамсея или же промежутки, в которых они находятся.

|statement=<tex>\forall k, n_1, \ldots n_k \in \mathbb N </tex> существует соответственное число Рамсея <tex>r(n_1,\ldots,n_k)</tex>, при этом <tex>r(n_1,\ldots,n_k)\leqslant r(n_1,\ldots, n_{k-2}, r(n_{k-1},\;n_k)).</tex>

Возьмем граф из <tex>r(n_1,\ldots, n_{k-2}, r(n_{k-1}, n_k))</tex> вершин и окрасим его рёбра в <tex>k</tex> цветов. Пока что будем считать цвета <tex>k-1</tex> и <tex>k</tex> одним цветом. Тогда граф будет <tex>(k-1)</tex>-цветным. Согласно определению числа Рамсея <tex>r(n_1,\ldots,n_{k-2},r(n_{k-1},n_k))</tex>, такой граф либо содержит <tex>K_{n_i}</tex> для некоторого цвета <tex>i</tex>, такого что <tex>1\leqslant i\leqslant k-2</tex> , либо <tex>K_{r(k, n_{k-1},n_k)}</tex>, окрашенный общим цветом <tex>k-1</tex> и <tex>k</tex>. В первом случае доказательство завершено. Во втором случае вернём прежние цвета и заметим, что, по определению числа Рамсея, полный <tex>r(n_{k-1},n_k)</tex> — вершинный граф содержит либо <tex>K_{n_{k-1}}</tex> цвета <tex>k-1</tex>, либо <tex>K_{n_k}</tex> цвета <tex>k</tex>. Таким образом любое число Рамсея для раскраски в <tex>k</tex> цветов ограничено некоторым числом Рамсея для меньшего количества цветов, следовательно, <tex>r(n_1,\ldots,n_k)</tex> существует для любых <tex> k, n_1, \ldots n_k, \in \mathbb N </tex>, и теорема доказана.

<tex>1)</tex> # Мы будем доказывать теорему по индукции. Начнем со случая <tex>k=2</tex>. Приступая к доказательству для числа <tex>r_m(n_1,n_2)</tex> мы будем считать доказанным утверждение теоремы для чисел Рамсея всех меньших размерностей и чисел Рамсея размерности <tex>m</tex> с меньшей суммой <tex>n_1+n_2</tex>. В качестве базы будем использовать случай чисел Рамсея размерности <tex>2</tex> разобранный выше. Итак, мы докажем, что <tex>r_m(n_1,n_2)-1 \leqslant p=r_{m-1}(r_m(n_1-1,n_2),r_m(n_1,n_2-1))</tex>. <br> Для каждого множества <tex>M</tex> через <tex>M^k</tex> обозначим множество всех <tex>k</tex>-элементных подмножеств <tex>M</tex>. <br> Рассмотрим <tex>(p+1)</tex>-элементное множество <tex>M</tex> и выделим в нём элемент <tex>a</tex>. Пусть <tex>M_0=M \setminus \{ a \}</tex>. Пусть <tex>\rho:M^m\rightarrow \{1, 2 \} </tex> — произвольная раскраска в два цвета. Рассмотрим раскраску <tex>\rho': M_0^{m-1} \rightarrow \{1, 2\} </tex> , определённую следующим образом: для каждого множества <tex>B \in M_0^{m-1}</tex> пусть <tex>\rho'(B) = \rho(B \cup \{ a \})</tex>.<br> Так как <tex>|M_0|=p</tex>, либо существует <tex>r_m(n_1 — 1,n_2)</tex>-элементное подмножество <tex>M_i M_1 \subset M_0</tex>, <tex>\rho'(B)=1</tex> на всех <tex>B \in M_1^{m-1}</tex>, либо существует <tex>r_m(n_1,n_2-1)</tex>-элементное подмножество <tex>M_2 \subset M_0</tex>, <tex>\rho'(B)=2</tex> на всех <tex>B \in M_2^{m-1}</tex>. Случаи аналогичны, рассмотрим первый случай и множество <tex>M_1</tex>.<br> По индукционному предположен из <tex>|M_1|=r_m(n_1-1,n_2)</tex> следует, что либо существует <tex>n_1-1</tex>-элементное подмножество <tex>N_1 \subset M_1</tex>, <tex>\rho(A)=1</tex> на всех <tex>A \in N^m_1</tex>, либо существует <tex>n_2</tex>-элементное подмножество <tex>N_2 \subset M_1</tex>, <tex>\rho(A)=2</tex> на всех <tex>A \in N_2^m</tex>. Во втором случае искомое подмножество найдено (это <tex>N_2</tex>), рассмотрим первый случай и множество <tex>N=N_1 \cup \{a\}</tex>. Пусть <tex>A \in N^m</tex>. Если <tex>A \not\ni a</tex>, то <tex>A \in N_1^m</tex> и следовательно <tex>\rho(A)=1</tex>. Если же <tex>A \ni a</tex>, то множество <tex>A \setminus \{a\} \in N_1^{m-1} \subset M_1^{m-1}</tex> и поэтому <tex>\rho(A)=\rho'(A \setminus \{a \})=1</tex>. Учитывая, что <tex>|N|=n_1</tex>, мы нашли искомое подмножество и в этом случае. <tex>2)</tex> # При <tex>k>2</tex> будем вести индукцию по <tex>k</tex> с доказанной выше базой <tex>k=2</tex>. При <tex>k>2</tex> мы докажем неравенство.<tex>r_m(n_1,\ldots ,n_k) \leqslant q=r_m(r_m(n_1,\ldots ,n_{k-1}),n_k)</tex> . <br> Для этого мы рассмотрим множество <tex>M</tex> на <tex>q</tex> вершинах и произвольную раскраску <tex>\rho:M^m \rightarrow [1 \ldots k]</tex> в <tex>k</tex>цветов. Рассмотрим раскраску <tex>\rho':M^m \rightarrow \{0,k\}</tex>, в которой цвета <tex>1,\ldots,k-1</tex> раскраски <tex>\rho</tex> склеены в цвет <tex>0</tex>. Тогда существует либо такое подмножество <tex>M_0 \subset M</tex>, что <tex>|M_0|=r_m(n_1,\ldots ,n_{k-1})</tex> и <tex>\rho'(A)=0</tex> на всех <tex>A \in M_0^m</tex>, либо существует такое <tex>n_k</tex>-элементное подмножество <tex>M_k \subset M</tex>, что <tex>\rho(A)=\rho'(A)=k</tex> на всех <tex>A \in M^m_k</tex>. Во втором случае <tex>M_k</tex> — искомое подмножество, а в первом случае заметим, что на любом подмножестве <tex>A \in M_0^m</tex> из <tex>\rho'(A)=0</tex> следует <tex>\rho(A) \in [1 \ldots k-1]</tex>. Исходя из размера множества <tex>M_0</tex> по индукционному предположению получаем, что найдется искомое подмножество множества <tex>M</tex> для одного из цветов <tex>1,\ldots ,k-1</tex>, таким образом неравенство доказано, а из этого следует и существование числа Рамсея <tex>r_m(n_1,\ldots ,n_k)</tex>.

Пусть <tex>H_1,H_2</tex> — графы. '''Число Рамсея ''' <tex>r(H_1,H_2)</tex> — это наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске рёбер полного графа на <tex>x</tex> вершинах в два цвета обязательно найдется подграф, [[Основные определения теории графов#isomorphic_graphs|изоморфный ]] <tex>H_1</tex> с рёбрами цвета <tex>1</tex> или подграф изоморфный <tex>H_2</tex> с рёбрами цвета <tex>2</tex>.

Существует и другое определение чисел Рамсея для произвольных графов.{{Определение|id=def16|definition=Пусть <tex>H_1,H_2</tex> — графы. '''Число Рамсея''' <tex>r(H_1,H_2)</tex> — это наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что для любого графа <tex>G</tex> на <tex>x</tex> вершинах либо в <tex>G</tex> найдется подграф изоморфный <tex>H_1</tex>, либо в <tex>\overline G</tex> найдется подграф изоморфный <tex>H_2</tex>. }}Несложно показать, что эти определения эквивалентны (аналогично определениям для классических чисел Рамсея). Из результатов классической теории Рамсея становится понятно, что числа <tex>r(H_1,H_2)</tex> существуют.

|id=l1|about=1|statement=Пусть <tex>m>1</tex>, а граф <tex>H</tex> таков, что <tex>v(H) \geqslant (m-1)(n-1)+1</tex> и <tex>\alpha(H) \leqslant m-1</tex>, где <tex>v(H)</tex> {{---}} количество вершин в графе <tex>H</tex>. Тогда граф <tex>H</tex> содержит в качестве подграфа любое [[Основные определения теории графов#defTree|дерево ]] на <tex>n</tex> вершинах.

'''Индукционный переход:''' Пусть верно для <tex>n-1</tex>, докажем для <tex>n</tex>. Рассмотрим произвольное дерево <tex>T_n</tex> на <tex>n</tex> вершинах, пусть дерево <tex>T_{n-1}</tex> получено из <tex>T_n</tex> удалением висячей вершины. Пусть <tex>U</tex> — максимальное независимое множестве множество вершин графа <tex>H</tex>. Тогда <tex>|U|=\alpha(H) \leqslant m-1</tex>, следовательно <tex>v(H-U) \geqslant (m-1)(n-2)+1</tex> и очевидно <tex>\alpha(H-U) \leqslant m-1</tex>.По индукционному предположению, граф <tex>H-U</tex> содержит в качестве подграфа дерево <tex>T_{n-1}</tex>. Пусть <tex>a</tex> — вершина этого дерева, присоединив к которой висячую вершину , мы получим дерево <tex>T_n</tex>. Заметим, что множество <tex>U \cup</tex> <tex>\{a\}</tex> не является независимым ввиду максимальности <tex>U</tex>. Следовательно, вершина <tex>a</tex> смежна хотя бы с одной вершиной <tex>x \in U</tex>. Отметим, что <tex>x \not\in V(</tex> не принадлежит множеству вершин графа <tex>T_{n-1})</tex> и, присоединив вершину <tex>x</tex> к вершине <tex>a</tex> дерева <tex>T_{n-1}</tex>, получим дерево <tex>T_n</tex> в качестве подграфа графа <tex>H</tex>.

|author=5, Теорема Хватала

<tex>1)</tex> ДокажемСперва докажем, что <tex>r(T_n,K_m) \geqslant (m-1)(n-1)+1</tex>. Для этого предъявим раскраску рёбер графа <tex>K_{(m-1)(n-1)}</tex>, в которой нет ни одного связного подграфа на <tex>n</tex> вершинах с рёбрами цвета <tex>1</tex> и нет клики на <tex>m</tex> вершинах с рёбрами цвета <tex>2</tex>. Разобьём вершины графа на <tex>m-1</tex> клику по <tex>n-1</tex> вершине и покрасим все рёбра этих клик в цвет <tex>1</tex>. Тогда любой связный подграф с рёбрами цвета <tex>1</tex> содержит не более <tex>n-1</tex> вершины, в частности, нет подграфа с рёбрами цвета <tex>1</tex>, изоморфного <tex>T_n</tex>. Рёбра цвета <tex>2</tex> (то есть, все оставшиеся рёбра) образуют <tex>(m-1)</tex>-дольный граф, в котором, очевидно, нет клики на <tex>m</tex> вершинах. Теперь воспользуемся вторым [[#def16|определением]] числа Рамсея <tex>2r(H_1, H_2)</tex> . Рассмотрим произвольную раскраску рёбер полного графа произвольный граф <tex>G</tex> на <tex>K_{(m-1)(n-1)+1}</tex> в два цветавершинах. Предположим, что не существует клики на в графе <tex>mG</tex> вершинах с рёбрами цвета не существует клики на <tex>2m</tex>вершинах. Тогда <tex>m>1</tex> и <tex>\alpha(G_1\overline G) \leqslant m-1</tex>. По [[#l1|лемме <tex>1</tex>]], граф <tex>G_1\overline G</tex> содержит в качестве подграфа любое дерево на <tex>n</tex> вершинах, в частности, дерево, изоморфное <tex>T_n</tex>.

|definition=Пусть <tex>H</tex> — граф. Граф <tex>G</tex> будем называть '''рамсеевским графом''' (англ. ''Ramsey’s graph'') для <tex>H</tex>, если при любой раскраске рёбер графа <tex>G</tex> в два цвета существует одноцветный по рёбрам индуцированный подграф графа <tex>G</tex> изоморфный <tex>H</tex>.}}

|statement=Для любого графа <tex>H</tex> существует индуцированное число Рамсея рамсеевский граф <tex>r(H)G</tex>.

Доказательство <ref>[https://math.la.asu.edu/~andrzej/teach/mat598/lec8.pdf Induced Ramsey Theorem Proof]</ref> данной теоремы было приведено независимо различными математиками, однако благодаря нему ему получилось предоставить только очень грубые оценки значений индуцированных чисел Рамсея. В данный момент проблема нахождения сколько-нибудь точных границ индуцированных чисел Рамсея является нерешенной задачей математики.