Изменения
Нет описания правки
# Индекс Хирша. Докажите, что $\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{z^{n^2}}{((1-z)\cdots(1-z^n))^2}$.
# Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.
# Экспоненциальная производящая функция для целочисленной последовательности называется функцией Гурвица. Докажите, что сумма, произведение, интеграл и производная функции Гурвица является функцией Гурвица.
# Докажите, что результат подстановки функции Гурвица в функцию Гурвица является функцией Гурвица
# Опишите класс помеченных объектов $seq(cyc(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Будем обозначать $seq_T$, $cyc_T$, $set_T$ соответственно последовательности, циклы и множества, размер которых принадлежит множеству $T$. Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{\ge 1}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{1, 2}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Сюрьекции на $r$-элементное множество. Осознайте, что $seq_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт сюрьекции на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию.
# Разбиения на $r$ множеств. Осознайте, что $set_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт разбиения на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию. Что стоит при $z^n$?
# Гиперболический синус $\mathrm{sh}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$. Гиперболический косинус $\mathrm{ch}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$. Рассмотрим разбиения $n$-элементного множества на непустые подмножества. Для произвольных подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $e^{e^z-1}$. Докажите, что для разбиений на нечетное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{sh}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на четное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{ch}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит нечетное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{sh}\,z}$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит четное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{ch}\,z-1}$. Почему здесь в показателе степени есть $-1$, а в предыдущем задании нет?
# Обобщите четыре предыдущих задания. Как выглядят экспоненциальные производящие функции для разбиений на (не)четное число подмножеств, каждое из которых содержит (не)четное число элементов? (Необходимо дать четыре ответа для всех комбинаций)
