Изменения

# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание максимума координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$. Поясните разницу с предыдущим заданием.

# Дана марковская цепь с двумя состояниями и вероятностью перехода из 1 в 2 равной $a$, вероятностью перехода из 2 в 1 равной $b$. Найдите в явном виде $n$-ю степень матрицы переходов.

# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних двух бросков равны 001. Какую строку длины 3 оптмально выбрать Васе, чтобы его вероятность выигрыша была максимальна?

# Предложите решение предыдущей задачи для произвольной выигрышной строки Пети (за полином от длины этой строки).

# Пусть последовательно генерируется последовательность из 0 и 1 длины $n$. Каждый элемент последовательности определяется с помощью броска честной монеты. Определите, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на 3.

# Пусть последовательно генерируется последовательность из 0 и 1 длины $n$. Каждый элемент последовательности определяется с помощью броска честной монеты. Предложите алгоритм определния, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на $p$ для заданного целого $p$.