390
правок
Изменения
Исправил многоточия
:Поскольку это дерево является деревом разбора, <tex>A \rightarrow \omega</tex> должно быть продукцией. Таким образом, <tex>A \Rightarrow_{lm} \omega</tex> есть одношаговое левое порождение <tex>\omega</tex> из <tex>A</tex>.
'''Индукционный переход:''' Существует корень с отметкой <tex>A</tex> и сыновьями, отмеченными слева направо <tex>X_1X_2 \dots ldots X_k</tex>. Символы <tex>X</tex> могут быть как терминалами, так и переменными.
# Если <tex>X_i</tex> — терминал, то определим <tex>\omega_i</tex> как цепочку, состоящую из одного <tex>X_i</tex>.
# Если <tex>X_i</tex> — переменная, то она должна быть корнем некоторого поддерева с терминальной кроной, которую обозначим <tex>\omega_i</tex>. Заметим, что в этом случае высота поддерева меньше <tex>n</tex>, поэтому к нему применимо предположение индукции. Следовательно, существует левое порождение <tex>X_i \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_i</tex>.
Заметим, что <tex>\omega = \omega_1\omega_2 \dots ldots \omega_k</tex>.
Построим левое порождение цепочки <tex>\omega</tex> следующим образом:
:Начнем с шага <tex>A \Rightarrow_{lm} X_1X_2\dots ldots X_k</tex>.:Затем для <tex>i = 1, 2, \dotsldots, k \ </tex> покажем, что имеет место следующее порождение: <tex>A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2\dotsldots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}\dots ldots X_k</tex>
Данное доказательство использует в действительности еще одну индукцию, на этот раз по <tex>i</tex>.
Для базиса <tex>i = 0</tex> мы уже знаем, что <tex>A \Rightarrow_{lm} X_1X_2\dots ldots X_k</tex>.
Для индукции предположим, что существует следующее порождение: <tex>A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2\dotsldots\omega_{i–1}X_iX_{i+1}\dots ldots X_k</tex>
# Если <tex>X_i</tex> — терминал, то не делаем ничего, но в дальнейшем рассматриваем <tex>X_i</tex> как терминальную цепочку <tex>\omega_i</tex>. Таким образом, приходим к существованию следующего порождения. <tex>A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2\dotsldots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}\dots ldots X_k</tex># Если <tex>X_i</tex> является переменной, то продолжаем порождением <tex>\omega_i</tex> из <tex>X_i</tex> в контексте уже построенного порождения. Таким образом, если этим порождением является: <tex>X_i \Rightarrow_{lm} \alpha_1 \Rightarrow_{lm} \alpha_2\dots ldots \Rightarrow_{lm} \omega_i</tex>, то продолжаем следующими порождениями:
::<tex>\omega_1\omega_2\dotsldots\omega_{i–1}X_iX_{i+1}\dots ldots X_k \Rightarrow_{lm}</tex>
::<tex>\omega_1\omega_2\dotsldots\omega_{i–1}\alpha_1X_{i+1}\dots ldots X_k \Rightarrow_{lm}</tex>
::<tex>\omega_1\omega_2\dotsldots\omega_{i–1}\alpha_2X_{i+1}\dots ldots X_k \Rightarrow_{lm}</tex>
::<tex>\dotsldots</tex>
::<tex>\omega_1\omega_2\dotsldots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}\dots ldots X_k</tex>
Результатом является порождение <tex>A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2\dotsldots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}\dots ldots X_k</tex>.
Когда <tex>i = k</tex>, результат представляет собой левое порождение <tex>\omega</tex> из <tex>A</tex>.
}}
