50
правок
Изменения
Добавлен пример задачи про раскраски граней куба
:<tex> |C| = \dfrac{1} {|G|} \sum\limits_{g \in G}|St(g)| = \dfrac{I_1 + I_2 + I_3 + I_4}{4} = \dfrac{k^{nm}+k^{\lceil \dfrac{m}{2} \rceil n} + k^{{\lceil {\dfrac{n}{2}} \rceil}m} + k^{{\lceil {\dfrac{nm}{2}} \rceil}}}{4}</tex>
==Задача о числе раскрасок граней куба==
{{Задача
|definition=Выведите формулу для числа раскрасок граней куба в <tex>k</tex> цветов с точностью до поворота.
}}
Как и в предыдущей задаче, будем использовать в решении лемму Бёрнсайда.
'''Решение'''
Рассмотрим группу вращений куба <tex>G</tex>:
* <tex>1</tex> Тождественное вращение.
* <tex>4</tex> вращения на угол <tex>120^{\circ}</tex> и <tex>4</tex> вращения на угол <tex>120^{\circ}</tex> вдоль главных диагоналей куба, имеющих по <tex>2</tex> орбиты на гранях (<tex>k^2</tex> орбит на раскрасках соответственно).
* <tex>6</tex> вращений на угол <tex>180^{\circ}</tex> вдоль осей, соединяющих середины противоположных ребер, имеющих по <tex>3</tex> орбиты на гранях (<tex>k^3</tex> орбит на раскрасках соответственно).
* <tex>3</tex> вращения на угол <tex>90^{\circ}</tex> и <tex>3</tex> вращения на угол <tex>270^{\circ}</tex> вдоль осей, соединяющих центры противоположных граней, имеющих по <tex>3</tex> орбиты на гранях (<tex>k^3</tex> орбит на раскрасках соответственно).
* <tex>3</tex> вращения на угол <tex>180^{\circ}</tex> вдоль осей, соединяющих центры противоположных граней, имеющих по <tex>4</tex> орбиты на гранях (<tex>k^4</tex> орбит на раскрасках соответственно).
Итого <tex>1+(4+4)+6+(3+3)+3=24</tex> поворота, при которых куб переходит в себя. Других различных поворотов, которые переводят куб в себя не существует, поскольку ''группа вращений'' <tex>G</tex> изоморфна ''симметрической группе'' <tex>S_4</tex> ''(без доказательства)'', тогда из того, что <tex>|S_4|=24</tex> следует, что мы указали все преобразования, которые переводят куб в себя, причем различным образом.
Давайте введем обозначения для наших вращений, в том же порядке, в котором они были указаны: <tex> \{ e , \alpha , \beta , \gamma , \xi \} </tex>, тогда с помощью Леммы Бёрнсайда найдем искомый ответ:
:<tex> |C| = \dfrac{1} {|G|} \sum\limits_{g \in G}|St(g)| = \dfrac{1} {|G|} (|St(e)| + |St( \alpha )| + |St( \beta )| + |St( \gamma )| + |St( \xi )|) =</tex>
:<tex> \dfrac{1} {24} (k^6 + 8k^2 + 6k^3 + 6k^3 + 3k^4) = \dfrac{1} {24} (k^6 + 3k^4 + 12k^3 + 8k^2)</tex>
==См. также==
