Изменения

Рассмотрим случаи, определеяющее частичное упорядочение как:

* Сильное: <tex>\forall a, b \in X:</tex> <tex>a < b</tex> и <tex>b < a</tex>, то есть если ~ <tex>\emptyset</tex>.

Можно заключить, что любое cильное упорядовачивание есть слабое.

Отношение несравнимости является [[Отношение эквивалентности |отношением эквивалентности]] для всех своих разбиений на множестве <tex>X</tex>, что являются [[Упорядоченное множество |линейно упорядоченными]].

* [[Отношение связности, компоненты связности |Связанности]]: <tex>\forall a, b \in X:</tex> выполнимо либо <tex>a&le;b</tex>, либо <tex>b&le;a</tex>.

Если в любом сильном подпорядке <tex>\exists a,b : a&le;b</tex> и <tex>b&le;a</tex>, то на нем определено [[Отношение эквивалентности |отношение эквивалентности]].

=== Сравнения ===

Удобство использования слабого ранжирования в том, что его элементы могут быть представлены единственным образом с помощью вещественных функций. Рассмотрим следующую теорему.

{{Теорема|о слабом упорядочивании

* '''эквивалентность''': для <tex>a \sim b</tex> ''тогда и только тогда'', когда <tex>u(a)=u(b)</tex>.

:- Лексикографические предпочтения

<tex>\; \;</tex> Хоть и на любом конечном множестве может определена ранжирующая функция, однако для случая лексикографического порядка функция не определена на <tex>R^n</tex>.

<tex>\; \;</tex>Если на <tex>u</tex> вводятся ограничения, чтобы быть сюръективной функцией, то при отображении элементов некого класса на <tex>Y</tex> возможно соответствие ему меньшего или вовсе пустого класса на <tex>X</tex>.

Для любого конечного множества <tex>X</tex>, на котором задано отношение слабого упорядовачивания и <tex>\exists u: X \rightarrow Y </tex>, может быть применимо моделирование с помощью кусочных последовательностей.

Рассмотрим пример. Положим, что

}}

=== Сравнения ===

Частичное ранжирование поддается тому же функциональному подходу к сравнению за тем лишь исключением, что для численных значений объектов вводится некоторая погрешность <tex>\xi</tex>, внутри которой объекты считаются сравнимы, снаружи - нет. Зачастую такую погрешность выбирают нормированной к <tex>1</tex>.

{{Теорема|о частичном упорядочивании

Для любого конечного частичного упорядочиванием <tex><\in X\times X</tex> возможно определить такое <tex>\xi</tex> и функционал <tex> u: X \rightarrow Y :</tex> если <tex>a<b</tex>, то <tex>u(a) \le u(b) - \xi</tex> и наоборот.

}}

Если у данного частичного ранжирования существует несчетное множество строго упорядоченных объектов, то невозможно подобрать такую <tex>u</tex>. В противовес, любое конечное частичное ранжирование может быть описано с помощью <tex>u</tex>.

== Сильное ранжирование ==

Таким образом, сильное ранжирование {{---}} строгое слабое, для которого <tex>\sim \emptyset</tex>.

=== Сравнения ===

Сильное ранжирование сравнивается с помощью функционала <tex>u</tex>.

{{Лемма|о сильном упорядочивании

Для любого конечного сильного упорядочивания <tex>\le \in X\times X</tex> возможно определить такой функционал <tex> u: X \rightarrow Y :</tex> если <tex>a\le b</tex>, то <tex>u(a) \le u(b)</tex> и наоборот.

}}

<tex>\; </tex>Как и для частичного, оно должно быть конечно.

=== Ranking SVM ===

----

==== Постановка задачи ====

</center>

----

Данные алгоритмы применяются для списочного ранжирования, хотя по сути своей используют попарный подход, который был расширен до случая списка.

Считаем, что у нас есть некий гладкий функционал качества, который необходимо оптимизировать:

<center><tex>Q(a) = sum_{i\prec j}(\mathbb{L}(a(x_j) - a(x_i)) \rightarrow \underset{a}{min}</tex> </center>

<center>при <tex>\mathbb{L}(M) =log(1+ e^{-\sigma M})</tex> и алгоритме <tex>a(x) = \langle w,x\rangle </tex>, где</center>

<tex>\sigma -</tex> масштабирующий параметр для пересчета значения отступа <tex>M</tex> в вероятностное значение.

=== SoftRank ===

----

==== Постановка задачи ====

Сперва необходимо перейти от поиска изначально детерминированного положения документа в отранижрованном порядке к случайной величине, распределенной по нормальному закону так, чтобы центр распределения лежал в предсказании функции ранжирования, как представлено на [[Медиа:SoftRank_F.png|рис. 3]]. Величина дисперсии теперь также параметр модели:

==== Подход ====

Вычисления происходят рекурсивно для каждого <tex>j-</tex>го документа. <br />

<tex>N=1</tex>. Оценить вероятность оказаться на <tex>r-</tex>м месте для <tex>1</tex> элемента: <br />

\mathbb{N}(0 | \overline{d_i} - \overline{d_m}, 2 \sigma^2_{d_s}) \; m \ne i, m = j \\ 0 \; m \ne i, m \ne j

\end{cases} </tex></center>