Изменения
→Перемножение рядов
Важнейший способ перемножения - способ Коши произведения по диагонали:
:<tex>\alpha_k = \sum\limits_{j = 0}^{k} a_j b_{k - j}</tex>
{{Теорема
|statement=
Пусть положительные ряды <tex>a_n, b_n</tex> абсолютно сходятся и имеют суммы <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. Тогда их можно перемножить любым способом <tex>\varphi</tex>.
|proof=
Используя положительность рядов, ведём рассуждения для достаточно большого количества слагаемых частичных сумм.
Так как в любую наперёд заданную клетку мы попадём, то ясно, что через некоторое количество шагов все клетки некоторого левого верхнего квадрата уже будут пройдены.
Сумма элементов квадрата <tex>\sum\limits_{k = 1}^n a_k \cdot \sum\limits_{k = 1}^n b_k</tex> не превосходит частичной суммы, которая, в свою очередь не превосходит суммы элементов окаймляющего квадрата. Но, если устремить <tex>n</tex> к бесконечности, то частичная сумма ряда по принципу сжатой переменной стремится к <tex>AB</tex>, что и требовалось доказать.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть ряды из <tex>a_n, b_n</tex> абсолютно сходятся и имеют суммы <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. Тогда их можно перемножить любым способом <tex>\varphi</tex>.
|proof=
Определим <tex>A'</tex> как сумму вспомогательного ряда <tex>\sum\limits_{k = 1}^n a_n^+</tex>, <tex>A''</tex> как сумму <tex>\sum\limits_{k = 1}^n a_n^-</tex>. Аналогично определяем <tex>B'</tex> и <tex>B''</tex>.
По определению, <tex>AB = (A' - A'') \times (B' - B'') = A'B' - A''B' - B''A' + A''B''</tex>. Раскладывая ряд по линейности на сумму положительных произведений вспомогательных рядов и приходим к искомому утверждению.
}}
При перемножении рядов по правилу Коши, можно ослабить требования на сходимость рядов. Установим следующую теорему:
{{Теорема
|about=
Мертенс
|statement=
Пусть ряд из <tex>a_n</tex> — абсолютно сходящийся, а ряд из <tex>b_n</tex> — условно сходящийся. Тогда эти два ряда можно перемножить по способу Коши.
|proof=
Для удобства нумеруем слагаемые рядов <tex>a_n</tex> и <tex>b_n</tex>, начиная с нуля.
Пусть <tex>\alpha_n = \sum\limits_{k = 0}^{n} a_kb_{n -k}</tex>. Тогда сумма <tex>\alpha_0 + \alpha_1 + \dots + \alpha_n</tex> — частичная сумма произведения рядов по правилу Коши.
:<tex>D_n = \sum\limits_{k = 0}^{n} \sum\limits_{j = 0}^{k} a_jb_{k-j} = \sum\limits_{j = 0}^{n}\sum\limits_{k=j}^n a_j b_{k-j}=</tex>
:<tex>= \sum\limits_{j = 0}^n a_j \cdot \sum\limits_{k = j}^n b_{k - j} = \sum\limits_{j = 0}^n a_j \cdot \sum\limits_{k = 0}^{n - j} b_k = \sum\limits_{j = 0}^n a_j B_{n-j}</tex>
:<tex>B_n \longrightarrow B \Rightarrow B_n = B + \beta_n, \ \beta_n \longrightarrow 0</tex>
:<tex>D_n = \sum\limits_{j = 0}^n a_j (B + \beta_{n - j}) = B \sum\limits_{j = 0}^n a_j + \sum\limits_{j = 0}^n a_j\beta_{n - j}</tex>
Если доказать, что <tex>\sum\limits_{j = 0}^n a_j\beta_{n - j} \longrightarrow 0</tex>, то из последнего равенства получается искомое.
}}
