Изменения
→Задача о разорении игрока
Рассмотрим конечную цепь Маркова:
<tex>\quad\xi_{t+1} = \xi_t + \eta_t,\quad P\{\eta_t = 1|\xi_t ≠ 0 ∨ \xi_t ≠ n\} = p,\quad P\{\eta_t = −1|\xi_t ≠ 0 ∨ \xi_t ≠ n\} = q</tex> и
Вероятность выигрыша для первого игрока в момент времени <tex>t</tex> есть <tex>p_{kn}(t) = P\{\eta_t = n|\eta_0 = k\}</tex>
Заметим, что:
<tex> \quad \quad \{\xi_1 = n\} ⊂ \{\xi_2 = n\} ⊂ · · · ⊂ \{\xi_t = n\} ⊂ . . . </tex>
Положим <tex>A =\cup_{t=1}^∞\{\xi_t = n\}</tex>. Тогда
<tex> \quad \quad p_{kn} = P(A) = \lim_{t\to\infty}P\{\xi_t = n|\xi_0 = k\} = \lim_{t\to\infty}p_{kn}(t).</tex>
Переходя к пределу в (2.1.8) при <tex>t → ∞</tex>, получим
<tex>\quad \quad p_{kn} = p*p_{k+1,n} + q*p_{k−1,n}</tex>
Так как <tex>p_{kn}</tex> вероятность выигрыша для первого игрока, то <tex>p_{0n} = 0, p_{nn} = 1</tex>. Рассматриваемая как функция от <tex>k</tex>, вероятность <tex>p_{kn}</tex> является решением уравнения в конечных разностях
*<tex> \quad \quad p*f_{k+1} − f_{k} + q*f_{k−1} = 0 </tex>(2.2)
удовлетворяющим граничным условиям <tex>f_0 = 0 \quad f_n = 1</tex>. Теория решения таких уравнений аналогична
Пусть сначала <tex>p ≠ q</tex>. Решение будем искать в виде <tex>f_k = \lambda^k</tex>, где <tex>\lambda</tex> является корнем характеристического уравнения <tex>p\lambda_k − \lambda + q = 0</tex>. Корнями такого уравнения являются <tex>\lambda_1 = 1, \lambda_2 = q/p</tex>.
Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению (12.92). Линейная комбинация
*<tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> (102.3)
при любых <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в (102.3), при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex> получим
<tex>\quad C_1 + C_2 = 0, \quad C_1 + (q/p)^nC_2 = 1.</tex>
Отсюда и из (102.3) находим
*<tex>\quad p_{kn} = (1 − q/p)^k/(1 − (q/p)^n).</tex>
Вероятности выигрыша первым игроком <tex>p_{k0}</tex> тоже удовлетворяют уравнению (12.92). Но граничными
условиями станут <tex>f_0 = 1, f_n = 0.</tex> Определяя из этих условий <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, получим
<tex>\quad p_{k0} = ((q/p)^k − (q/p)^n)/(1 − (q/p)^n).</tex>
Так как <tex>p_{k0} + p_{kn} = 1</tex>, то с вероятностью <tex>1</tex> один из игроков выиграет.
Пусть теперь <tex>p = q = 1/2</tex>. В этом случае <tex>\lambda_1 = \lambda_2 = 1</tex> и решение уравнения (12.92) нужно искать в виде <tex>f_k = C_1 + kC_2 .</tex>
С помощью граничных условий находим
<tex>\quad p_{kn} = \frac{k}{n}, \quad p_{k0} = 1 − \frac{k}{n}.</tex>
В схеме блуждания по целым точкам с поглощением только в нуле вероятность события
<tex>\quad A_n = \{\xi_t = 0</tex> в некоторый момент времени <tex>t</tex>, <tex>\xi_t ∈ [0, n)</tex> во все моменты <tex>t\}</tex>
равна
<tex> \quad p_{k0} = \begin{cases} ((q/p)^k − (q/p)^n)/(1 − (q/p)^n), &\text{если p≠q}\\1 − k/n, &\text{если p=0.5}
\end{cases}</tex>
События <tex>A_n</tex> вложены последовательно друг в друга
*<tex>\quad A_1 ⊂ A_2 ⊂ · · · ⊂ A_n ⊂ . . . ,</tex>
поэтому вероятность поглощения в нуле равна
*<tex>p_k = \lim_{n\to\infty}P(A) = \lim_{n\to\infty}p_{k0}=\begin{cases} (q/p)^k, &\text{если q меньше p}\\1, &\text{если q≥p}
\end{cases}</tex>
