Примечание: в [[Теорема о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности|редактируемой статье]] указано, что достаточно рассматривать <tex>q_0=1</tex>. :)
== Теорема о связи этих понятий ==
{{Теорема
|id=th_main.
|statement=Последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots </tex> является линейной рекуррентной последовательностью с <tex>k</tex> первыми заданными членами, определяемыми коэффициентами <tex>c_1, c_2, \ldots, c_k</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> её производящая функция <tex>A(t)</tex> является дробно-рациональной, причём представимой в виде <tex>A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, где <tex>Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k</tex>, <tex>deg(P) < k</tex>.
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex>
Пусть <tex>c_1, c_2, \ldots, c_k</tex> {{---}} коэффициенты, задающие линейную рекуррентную последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots </tex>, то есть первые <tex>k-1</tex> членов заданы, а для следующих справедливо соотношение <tex>a_n = \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{n - i}</tex>.
Напишем друг под другом несколько производящих функций и соответствующих им формальных степенных рядов:
:<tex>A(t) = a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_k \cdot t^k + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots</tex>
:<tex>-c_1 \cdot t \cdot A(t) = 0 - c_1 \cdot a_0 \cdot t - c_1 \cdot a_1 \cdot t^2 - \ldots - c_1 \cdot a_{k - 1} \cdot t^k - \ldots - c_1 \cdot a_{n - 1} \cdot t^n - \ldots</tex>
:<tex>-c_2 \cdot t^2 \cdot A(t) = 0 + 0 - c_2 \cdot a_0 \cdot t^2 - \ldots - c_2 \cdot a_{k - 2} \cdot t^k - \ldots - c_2 \cdot a_{n - 2} \cdot t^n - \ldots</tex>
:<tex>\cdots</tex>
:<tex>-c_k \cdot t^k \cdot A(t) = 0 + 0 + 0 + \ldots +0-c_k \cdot a_0 \cdot t^k - \ldots - c_k \cdot a_{n - k} \cdot t^n + \ldots</tex>
Сложим все равенства и получим
:<tex>A(t) \cdot (1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k) = a_0 + (a_1 - c_1 \cdot a_0) \cdot t + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \ldots + \\ + (a_{k - 1} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} c_i \cdot a_{k - 1 - i}) \cdot t^{k - 1} + (a_k - \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{k - i}) \cdot t^k + \ldots + (a_n - \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{n - i}) \cdot t^n + \ldots</tex>
Для всех <tex>n \geqslant k</tex> выполняется равенство <tex>a_n = \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{n - i}</tex>, поэтому в правой части все коэффициенты при степенях, начиная с <tex>k</tex>, обнулятся, а равенство будет выглядеть следующим образом:
:<tex>A(t) \cdot (1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k) = a_0 + (a_1 - c_1 \cdot a_0) \cdot t + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \ldots + (a_{k - 1} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} c_i \cdot a_{k - 1 - i}) \cdot t^{k - 1}</tex>.
Заметим, что второй множитель в левой части равен в точности <tex>Q(t)</tex>, а степень правой части не превосходит <tex>k-1</tex>. Получили требуемое построение.
'''Замечание.''' Многочлен <tex>P(t)</tex> можно найти по формуле <tex>A(t) \cdot Q(t)</tex> как числитель получившейся дроби. К результату можно применить взятие его по модулю <tex>t^k</tex>. Это действие не испортит многочлен, так как его степень строго меньше <tex>k</tex>. При этом мы сократим число операций при вычислении <tex>P(t)</tex>, поскольку достаточно найти только <tex>k</tex> первых членов результирующего ряда, а для этого можно обойтись только первыми <tex>k</tex> слагаемыми степенных рядов, соответствующих производящей функции <tex>A(t)</tex> и столькими же для <tex>Q(t)</tex>.
<!-------Для того чтобы сократить число операций, все действия могут быть выполнены по модулю <tex>t^k</tex>.-------->
Итак, <tex>P(t) = A(t) \cdot Q(t) \mathrm{\ mod\ } t^k</tex>.
<!----Значит, многочлены <tex>Q(t)</tex> и <tex>P(t)</tex> всегда могут быть найдены. Более того, многочлен в знаменателе после нашего построения всегда принимает вид <tex>Q(t)=1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k</tex----->
<tex>\Leftarrow</tex>
Пусть <tex>A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, <tex>Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k</tex>, <tex> deg(P) < k</tex>. <!--------<tex> deg(Q) = k</tex>(да, я подумаю, как красиво исправить <tex> deg(Q) = k</tex> на <tex>Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k</tex>. просто страшно сносить дальнейшие рассуждения, где используются <tex>q_i</tex> :( ... либо же буду рада любым идеям :3).----->
Перепишем первое равенство, выразив <tex>P(t)</tex> через <tex>A(t)</tex> и <tex>Q(t)</tex>: <tex>P(t) = A(t) \cdot Q(t)</tex>.
Так как <tex>deg(P) < k</tex>, выполнено <tex>p_n = 0</tex> для любого <tex>n \geqslant k </tex>. Расписывая <tex>p_n</tex> по определению [[Арифметические действия с формальными степенными рядами#def_mul|произведения степенных рядов]], получаем <tex>p_n = \sum\limits_{i = 0}^n a_{n-i} \cdot q_{i} = 0</tex>.
Разобьём полученную сумму на две: <tex>p_n = \sum\limits_{i = 0}^{k} a_{n-i}\cdot q_{i} + \sum\limits_{i = k+1}^n a_{n-i}\cdot q_{i}</tex>. Так как <tex> Q(t)</tex> известно, можем определить, чему равны эти суммы. Для первой выполняются равенства:
:<tex> q_0 = 1</tex>,
:<tex> q_i = -c_i</tex> для всех <tex> i</tex> за исключением нуля.
Вторая же компонента равна нулю, поскольку <tex>deg(Q) = k</tex>. Тогда <tex>p_n = a_n + \sum\limits_{i = 1}^k a_{n-i} \cdot (-c_{i}) = a_n - \sum\limits_{i = 1}^k a_{n-i} \cdot c_{i} = 0</tex>.
Развернём выражение для <tex>p_n</tex>:
:<tex> a_n - \sum\limits_{i = 1}^k a_{n-i} \cdot c_{i} = a_n - a_{n-1} \cdot c_1 - \ldots - a_{n-k} \cdot c_k = 0</tex>.
Перенесём все слагаемые, кроме <tex>a_n</tex>, вправо:
:<tex> a_n = a_{n-1} \cdot c_1 + a_{n-2} \cdot c_2 + \ldots + a_{n-k} \cdot c_k</tex>.
Видим, что <tex>a_n</tex> {{---}} член линейной рекуррентной последовательности, заданной коэффициентами <tex>c_1, c_2, \ldots, c_k</tex>, причём это выполнено для всех <tex>n \geqslant k </tex>, так как индекс <tex>n</tex>, удовлетворяющий данному условию, выбирался произвольно.
}}
== Примеры ==
=== Представление в виде отношения многочленов производящей функции для последовательности чисел Фибоначчи ===
Введём обозначения:
:<tex>F(t)</tex> {{---}} производящая функция для чисел Фибоначчи,
:<tex>f_n = [t^n]F(t)</tex>.
Последовательность задаётся следующим образом:
:<tex>f_0 = f_1 = 1</tex>,
:<tex>f_n = f_{n-1} + f_{n-2},\ n \geq 2</tex>.
Здесь <tex>k=2</tex> и <tex>c_1 = c_2 = 1</tex>, следовательно <tex>Q(t) = 1 - t - t^2</tex>.
К числителю применим формулу <tex>P(t) = F(t) \cdot Q(t) \mathrm{\ mod\ } t^2</tex>. Чтобы получить ответ, требуется всего лишь найти <tex>p_0</tex> и <tex>p_1</tex>.
:<tex>p_0 = f_0 \cdot q_0 = 1 \cdot 1 = 1</tex>,
:<tex>p_1 = f_0 \cdot q_1 + f_1 \cdot q_0 = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0</tex>.
Таким образом, <tex>F(t) = \dfrac{1}{1 - t - t^2}</tex>.
=== Вычисление коэффициентов ряда <tex>\dfrac{1}{(1-t)^2}</tex> с помощью теоремы о связи рекуррентности и рациональности ===
<!---Известно, что <tex>\dfrac{1}{(1-t)^2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)\cdot t^n}</tex>.--->Найдём коэффициенты ряда <tex>\dfrac{1}{(1-t)^2}</tex> через построение рекуррентного соотношения.
Имеем
:<tex>P(t)=1</tex>,
:<tex>Q(t)=(1-t)^2 = 1 - 2t + t^2</tex>.
Второе равенство позволяет найти <tex>k</tex> и коэффициенты <tex>c_1, c_2 \ldots c_k</tex>. В нашем примере <tex>k=2</tex>, <tex>c_1=2</tex>, <tex>c_2=-1</tex>.
Зная, что <tex>P(t)=A(t)\cdot Q(t) \mathrm{\ mod\ }t^2</tex>, найдём первые два коэффициента ряда, соответствующего функции <tex>A(t)</tex>. Подставим в равенство известные значения:
:<tex>1 = (a_0 + a_1t)\cdot(1 - 2t)</tex>. Отсюда <tex>a_0=1</tex>, <tex>a_1=2</tex>.
Итак, коэффициенты <tex>A(t)</tex> задаются соотношением
:<tex>a_0=1</tex>, <tex>a_1=2</tex>,
:<tex>a_n=2\cdot a_{n-1} - a_{n-2},\ n\geq 2</tex>.
Известно, что <tex>\dfrac{1}{(1-t)^2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)\cdot t^n}</tex>. Такой результат можно получить, например, продифференцировав ряд функции <tex>\dfrac{1}{1-t}</tex>. Проверим, что нахождение рекуррентного соотношения для исходной дроби даёт такой же результат, то есть для всех <tex>n</tex> выполняется <tex>a_{n}=n+1</tex>.
* Для начальных значений равенства выполнены: <tex>a_0=1=0+1</tex>, <tex>a_1=2=1+1</tex>;
<!------*: Чтобы узнать, работает ли формула для <tex>n</tex>, больших <tex>2</tex> найдём <tex>a_2</tex>: <tex>a_2 = 2a_1 - a_0 = 2\cdot 2 - 1 = 3 = 2+1</tex>.-------->
* Будем считать предыдущие равенства базой индукции. То есть существует такое число <tex>n\geq 1</tex>, что до него проверяемая формула работала. Для следующего числа <tex>n+1</tex> верно <tex>a_{n+1}=2\cdot a_{n} - a_{n-1}</tex>. Предыдущие значения известны. Они подчинялись равенству <tex>a_{n}=n+1</tex>. Раскроем формулу:
*: <tex>a_{n+1}=2\cdot a_{n} - a_{n-1} = 2\cdot (n+1) - n = 2\cdot n + 2 - n = n+2 = (n+1) + 1</tex>.
: Методом математической индукции показали, что нет такого <tex>n</tex>, на котором действие формулы <tex>a_{n}=n+1</tex> заканчивается, и установили, что результаты нахождения коэффициентов <tex>A(t)</tex> методами дифференцирования и выражения через рекуррентную связь совпали.
<!--------------
* Вычислим производящую функцию последовательности <tex>a_0 = 1, a_n = k \cdot a_{n - 1}</tex>
*: Так как последовательность является линейно рекуррентной, её производящая функция, согласно теореме, имеет вид <tex>F(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, где <tex>Q(t) = 1 - k \cdot t</tex> (так как <tex>c_1 = k</tex>), а <tex>deg(P) < 1</tex>.
*: Будем искать производящую функцию в виде <tex>F(t) = \dfrac{C}{1 - k \cdot t}, C \in \mathbb{R}</tex>
*: Пусть <tex>F(t) = a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots </tex>, тогда <tex>a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots = \dfrac{C}{1 - k \cdot t}</tex>, следовательно <tex>(a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots a_n \cdot t^n + \ldots) \cdot (1 - k \cdot t) = C</tex>
*: Пользуясь правилом перемножения формальных степенных рядов, получаем
*: <tex> C = a_0 \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1</tex>
*: Следовательно, <tex> F(t) = \dfrac{1}{1 - k \cdot t}</tex>
*: Таким образом, <tex> 1 + k \cdot t + (k \cdot t)^2 + \ldots + (k \cdot t)^n + \ldots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}(k \cdot t)^n = \dfrac{1}{1 - k \cdot t}</tex>
*: Частным случаем этой формулы являются соотношения <tex>1 + t + t^2 + \ldots t^n + \cdots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}t^n =\dfrac{1}{1 - t}</tex> и <tex>1 - t + t^2 + \ldots (-1)^n \cdot t^n + \cdots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}(-1)^n \cdot t^n = \dfrac{1}{1 + t}</tex>
* Вычислим производящую функцию последовательности Фибоначчи <tex>f_0 = f_1 = 1, f_n = f_{n - 1} + f_{n - 2}</tex>
*: Так как последовательность является линейно рекуррентной, её производящая функция, согласно теореме, имеет вид <tex>F(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, где <tex>Q(t) = 1 - t - t^2</tex> (так как <tex>c_1 = c_2 = 1</tex>), а <tex>deg(P) < 2</tex>.
*: Будем искать производящую функцию в виде <tex>F(t) = \dfrac{B + At}{1 - t - t^2}, A, B \in \mathbb{R}</tex>
*: Пусть <tex>F(t) = f_0 + f_1 \cdot t + f_2 \cdot t^2 + \ldots + f_n \cdot t^n + \ldots </tex>, тогда <tex>f_0 + f_1 \cdot t + f_2 \cdot t^2 + \ldots + f_n \cdot t^n + \ldots = \dfrac{C}{1 - t - t^2}</tex>, следовательно <tex>(f_0 + f_1 \cdot t + f_2 \cdot t^2 + \ldots + f_n \cdot t^n + \ldots) \cdot (1 - t - t^2) = B + At</tex>
*: Пользуясь правилами перемножения формальных степенных рядов, получаем <tex>p_n = \sum\limits_{i = 0}^{n} f_i \cdot q_{n - i}</tex>, в частности, <tex>B = f_0 \cdot q_0 = 1 \cdot 1 = 1</tex>, а <tex>A = f_0 \cdot q_1 + f_1 \cdot q_0 = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 1 - 1 = 0</tex>
*: Таким образом, <tex>F(t) = \dfrac{1}{1 - t - t^2}</tex>-------------------->
