Изменения

В комбинаторике, особенно в аналитической комбинаторике, [https://en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_method_(combinatorics) символьный метод] - это метод подсчета [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Метод Комбинаторные_объекты комбинаторных объектов]. Он использует внутреннюю структуру объектов для получения формул их [[Производящая функция|производящих функций=]]. Этот метод в основном связан с [https://en.wikipedia.org/wiki/Philippe_Flajolet Филиппом Флайоле] и подробно описан в части A его книги с [https://ru.wikipedia.org/wiki/Седжвик,_Роберт Робертом Седжвиком] "Аналитическая комбинаторика"<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_Combinatorics "Аналитическая комбинаторика"]</ref>.

 ==Непомеченные комбинаторные объектыБазовые определения==

 У атомов определен вес<tex dpi="130">w</tex>.Вес объектов равен сумме весов составляющих его атомов. {{Определение|definition=Считающей последовательностью называется последовательность <tex dpi="130">\left \{ a_0, a_1, ..., a_n \right \}</tex>, где <tex dpi="130">a_i</tex> {{---}} количество объектов веса <tex dpi="130">i</tex>.}} Обозначим <tex dpi="350">[t_n]</tex> как оператор взятия <tex dpi="350">n</tex>-того коэффициента производящей функции. {{Определение|definition=Комбинаторным классом <tex dpi="130">A</tex> называется множество комбинаторных объектов, обладающих каким-то свойством.}} =Непомеченные комбинаторные объекты= Введём атомы <tex dpi="350">\bullet</tex> и <tex dpi="350">\circ</tex> следующим образом:

\\<tex dpi="150130">Z=\left \{ \bullet \right \}</texttex>

\\<tex dpi="150130">\varepsilon=\left \{ \circ \right \}</tex>.

Комбинаторным классом Объединением комбинаторных классов <tex dpi="130350">A</tex> и <tex dpi="350">B</tex> называется множество комбинаторный класс <tex dpi="350">C=A \cup B=A+B</tex>, состоящий из элементов обоих классов, причем равные объекты разных классов объявляются разными.}}Целью этого уточнения является возможность работать только со считающими последовательностями и производящими функциями. <tex dpi="350">c_n=a_n+b_n</tex> <tex dpi="350">C(t)=\left ( \sum_{i=0}^{\infty}a_i \cdot t^i \right ) + \left ( \sum_{i=0}^{\infty}b_i \cdot t^i \right ) = \sum_{i=0}^{\infty}(a_i + b_i)\cdot t^i =A(t)+B(t)</tex> ==Пары комбинаторных классов (декартово произведение комбинаторных классов)== {{Определение|definition=Парой комбинаторных классов <tex dpi="350">A</tex> и <tex dpi="350">B</tex> называется комбинаторный класс <tex dpi="350">C=Pair(A, B)=A \times B=\left \{ (\alpha, \beta) \mid \alpha \in A, \beta \in B \right \}</tex>.}} <tex dpi="350">w\left ( \left ( \alpha, \beta \right ) \right )=w(\alpha) + w(\beta)</tex> <tex dpi="350">c_n=\sum_{k=0}^{n}a_k b_{n-k}</tex> {{Утверждение|statement=<tex dpi="350">C(t)=A(t) \cdot B(t)</tex><ref>[[Арифметические действия с формальными степенными рядами]]</ref>}} ==Последовательности комбинаторных классов== ===Ограниченная конструкция=== {{Определение|definition=Последовательностью <tex dpi="350">k</tex> объектовиз <tex dpi="350">A</tex> называется <tex dpi="350">B=Seq_k(A)=\left \{ (\alpha_1, ..., \alpha_k) \mid \alpha_i \in A \right \}</tex>. <tex dpi="350">w(\left \{ (\alpha_1, ..., \alpha_k) \mid \alpha_i \in A \right \})=\sum_{i=0}^{k}\alpha_i</tex>}}  {{Утверждение|statement=<tex dpi="350">Seq_k(A)(t)=A(t)^k</tex>|proof=Докажем по индукции: '''База <tex dpi="350">k=1</tex>'''.:Для <tex dpi="350">k=1</tex> верно, потому что <tex dpi="350">Seq_1(A)=A \Rightarrow Seq_1(A)(t)=A(t)=A(t)^1</tex>. '''Переход'''.:Пусть для <tex dpi="350">k=n</tex> верно <tex dpi="350">Seq_n(A)(t)=A(t)^n</tex>. Докажем для <tex dpi="350">k=n+1</tex>:<tex dpi="350">Seq_{n+1}(A)(t)=A(t)^{n+1}</tex>. Рассмотрим <tex dpi="350">Seq_{n+1}(A)</tex> как <tex dpi="350">Pair(Seq_n(A), обладающих каким-то свойствомA)</tex>. Тогда <tex dpi="350">Seq_{n+1}(A)(t)=A(t)^n \cdot A(t)=A(t)^{n+1}</tex>.

Считающей последовательностью Последовательностью объектов из <tex dpi="350">A</tex> называется <tex dpi="350">B=Seq(A)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)</tex>.}}  {{Утверждение|statement=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\frac{1}{1 - A(t)}</tex>|proof=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}A(t)^i=\frac{1}{1 - A(t)}</tex> (Геометрическая прогрессия)}}  '''Ограничение:''' <tex dpi="350">a_0=0</tex> (также можно встретить <tex dpi="350">A_0=0</tex>). Этому есть как техническое, так и комбинаторное объяснение.* Технически, если <tex dpi="350">a_0>1</tex>, то мы будем делить на отрицательное число; если <tex dpi="350">a_0=1</tex>, то на функцию, у которой свободный член <tex dpi="350">0</tex>, {{---}} что формализм производящих функций сделать не позволяет.* Комбинаторное объяснение заключается в том, что если объектов веса ноль более 0, то мы можем создать бесконечное количество последовательностей веса 0 (комбинируя такие объекты), а мы хотим работать с конечными количествами последовательностей. ====Примеры====* Последовательности из не менее, чем 3 объектов:** <tex dpi="350">Seq_{\geq 3}=Pair(Seq_3(A), Seq(A))=Seq(A)-Seq_0(A)-Seq_1(A)-Seq_2(A)</tex>** <tex dpi="350">Seq_{\geq 3}(t)=Pair(Seq_3(A), Seq(A))(t)=A(t)^3 \cdot \frac{1}{1-A(t)}=\frac{A(t)^3}{1-A(t)}=(Seq(A)-Seq_0(A)-Seq_1(A)-Seq_2(A))(t)=\frac{1}{1-A(t)}-0-A(t)-A(t)^2</tex>* Последовательности чётной длины:** <tex dpi="350">Seq_{\vdots 2}(A)=Seq(Pair(A, A))</tex>** <tex dpi="350">Seq_{\vdots 2}(A)(t)=Seq(Pair(A, A))(t)=\frac{1}{1-A\left (t^2\right )}</tex> ==Комбинаторный класс "Натуральные числа"== Вес числа равен его значению. Каждое натуральное число встречается 1 раз. Считающая последовательность : <tex dpi="130350">\left \{ a_00, 1, ..., 1 \right \}</tex> <tex dpi="350">w(n)=n</tex> Класс "Натуральные числа" принято обозначать <tex dpi="350">I</tex>.Считающая последовательность {{---}}<tex dpi="350">c_n=\left\{\begin{matrix}0, a_1n=0\\ 1, n>0\end{matrix}\right.</tex> {{Утверждение|statement=<tex dpi="350">I(t)=\frac{t}{1 - t}</tex>|proof=Производящей функцией последовательности из <tex dpi="350">1</tex> явлется <tex>Seq(\{1\})=\frac{1}{1-t}</tex>. Чтобы получить производящую функцию класса натуральных чисел, произведем сдвиг вправо по правилам работы со степенными рядами:<tex dpi="350">t \cdot I(t) = t \cdot \frac{1}{1 - t} = \frac{t}{1-t}</tex>}} ===Применение=== <tex dpi="350">Seq(I)</tex> {{---}} упорядоченное [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|разбиение натуральных чисел на слагаемые]]. Тогда производящая функция {{---}} <tex dpi="350">Seq(I)(t)=\frac{1}{1-\frac{t}{1-t}}=\frac{1-t}{1-2t}=\frac{1}{1-2t}-\frac{t}{1-2t}</tex> <tex dpi="350">\left [ t^n \right ] \frac{1-t}{1-2t} = \left\{\begin{matrix}2 ^ n - 2 ^ {n - 1} = 2 ^ {n - 1}, n > 0\\ 1, n = 0\end{matrix}\right.</tex>, a_n потому что <tex dpi="350">\frac{1}{1-2t}</tex> соответсвует ряду степеней <tex dpi="350">2</tex>, а <tex dpi="350">\frac{1}{1-2t}</tex> {{---}} ряду <tex dpi="350">2^{x-1}</tex>. ==Множества== {{Определение|definition=Множества <tex dpi="350">Set(A)</tex> {{---}} последовательности без повторений и порядка элементов.}}{{Утверждение|statement=<tex dpi="350">Set(A)=\prod_{\alpha \in A}\left(\varepsilon+\left \{ \alpha \right \}\right )</tex>|proof=Докажем по индукции по потенциальным элементам множеств <tex dpi="350">A</tex>. '''База''' <tex dpi="350">A=\varnothing</tex> <tex dpi="350">Set(\varnothing)=\varepsilon=\prod_{\alpha\in A}\varepsilon</tex> '''Переход''' Пусть верно для множества <tex dpi="350">A_1</tex>, докажем, что будет верно и для множества и <tex dpi="350">A_1+\{\alpha\}</tex>, где <tex dpi="130350">\alpha\in A\setminus A_1</tex>В множестве каждый элемент может либо присутствовать, либо отсутствовать, поэтому <tex dpi="350">Set(A_1+\{\alpha\})=Set(A_1)+Set(A_1)\times\{\alpha\}=Set(A_1)(\varepsilon + \alpha)</tex>.}} ====Пример====* <tex dpi="350">A = \left \{ \alpha, \beta, \gamma \right \}</tex>* <tex dpi="350">Set(A) = \left \{ \varnothing, \left \{ \alpha \right \}, \left \{ \beta\right \}, \left \{ \gamma \right \}, \left \{ \alpha, \beta\right \}, \left \{ \alpha, \gamma \right \}, \left \{ \beta, \gamma \right \}, \left \{ \alpha, \beta, \gamma \right \} \right \}</tex> <tex dpi="350">a_iSet(A)(t)=\prod_{\alpha \in A}\left(\varepsilon+\left \{ \alpha \right \}\right )(t)=\prod_{\alpha \in A}(1+t^{w(\alpha)})=\prod_{n=0}^{\infty}(1+t^n)^{a_n}</tex> ==Мультимножества== {{Определение|definition=Мультимножества <tex dpi="350">MSet(A)</tex> {{---}} количество объектов веса последовательности с повторениями, но без порядка элементов.}}Как и с <tex dpi="350">Seq(A)</tex> существует ограничение на <tex dpi="350">A</tex>: <tex dpi="350">a_0=A(0)=0</tex>.{{Утверждение|statement=<tex dpi="350">MSet(A)=\prod_{\alpha \in A}Seq(\left \{ \alpha \right \})</tex>|proof=Докажем по индукции по потенциальным элементам множеств <tex dpi="350">A</tex>. '''База''' <tex dpi="350">A=\varnothing</tex> <tex dpi="350">MSet(\varnothing)=\varepsilon=\prod_{\alpha\in A}\varepsilon</tex> '''Переход''' Отличие от множеств в том, что здесь каждый элемент может присутствовать в любом неотрицательном количестве экземпляров, поэтому для каждого элемента <tex dpi="350">\alpha</tex> берется <tex dpi="350">Seq(\{\alpha\})</tex> Пусть верно для мультимножества <tex dpi="350">A_1</tex>, докажем, что будет верно и для мультимножества и <tex dpi="350">A_1+Seq_{\geq1}(\{\alpha\})</tex>, где <tex dpi="350">\alpha\in A\setminus A_1</tex><tex dpi="130350">iMSet(A_1+\{\alpha\})=MSet(A_1)+MSet(A_1)\times\{\alpha\}\times Seq_{\geq 1}(\{\alpha \})=MSet(A_1)\cdot Seq(\{\alpha\})</tex>.

Такие большие группы часто анализируют с помощью <tex dpi="350">MSet(A)(t)=\prod_{\alpha \in A}Seq(\left \{ \alpha \right \})(t)=\prod_{\alpha \in A}\frac{1}{1-t^{w(\alpha)}}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1-t^n}\right)^{a_n}</tex> =Помеченные объекты= Как можно заметить, для некоторых операторов, например, <tex dpi="350">Set</tex> и <tex dpi="350">MSet</tex> не существует замкнутых формул, поэтому их объекты удобнее обозначать как помеченные. С помеченными объектами используется [[Производящая https://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function#Exponential_generating_function_(EGF) экспоненциальная производящая функция|производящих функций]]. Один из популярных методов  Напомним, что если <tex dpi="350">\left \{ a_i \right \}</tex> {{---}} метод символов считающая последовательность, то производящие функции выражаются следующим образом: {| class="wikitable"|-| Обычная || <reftex dpi="350">[[wikipedia:Symbolic method ogf(combinatoricst) = \sum_{i=0}^{\infty}a_it^i</tex>|-| Wikipedia Экспоненциальная || <tex dpi="350">egf(t) = \sum_{i=0}^{---\infty}\frac{a_it^i}{n!} Symbolic method]]</reftex>. Он использует внутреннюю структуру объектов для получения производящих функций. В случае непомеченных объектов, как |} Далее под производящей функцией будет подразумеваться и в анализе в нашей статье, считаетсяиспользоваться экспоненциальная производящая функция, потому что нет объектов нулевого веса. Иногда для удобства их добавляют, чтобы показать наличие одного пустого множестваформулы с ней более просты в работе. ==Свойства экспоненциальной производящей функции==

Пусть <tex dpi="150350">Seq(A)(t)</tex> {{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">\frac{1a_0, a_1, ..., a_n, ... \}{1-</tex>, тогда <tex dpi="350">A'(t)</tex> {{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">B=\{ a_1, a_2, ..., a_n, ... \}</tex>.

Докажем по индукции{{Утверждение|statement=С точки зрения комбинаторики композиция производящих функций <tex dpi="350">A</tex> и <tex dpi="350">B</tex> означает подстановку вместо каждого возможного атома в <tex dpi="350">A</tex> всех объектов из класса <tex dpi="350">B</tex>.

'''База <tex dpi="130350"">n = 1</tex>'''. :<tex dpiA \left ( B \left ( t \right ) \right )="130"">S_\sum_{1}n=w_{10} S_^{0\infty}=w_\frac{1B(t)^n\cdot a_n}</tex>, что верно, так как единственный способ составить последовательность веса <tex dpi="130"">1</tex> {{---}n!} это взять любой элемент веса <tex dpi="130"">1</tex>.

'''Переход'''. :Пусть для <tex dpi="130"350">j < n</tex> верноc_n=\sum_{k=0}^na_k\sum_{t_1+t_2+... Докажем для <tex dpi+t_k="130"">n</tex>. Возьмем произвольный элемент из <tex dpi="130"">A</tex> веса <tex dpi="130"">i }\leqslant binom{n</tex>}{t_1, t_2, и допишем его к последовательности элементов веса <tex dpi="130"">n-i</tex>. Образуется новая последовательность веса <tex dpi="130"">n</tex>. Причем никакая последовательность не будет учтена дважды., так как прежде не было последовательностей веса <tex dpi="130"">nt_n}\cdot b_{t_1} b_{t_2}\cdot...\cdot b_{t_n}</tex> и ни к какой последовательности меньшего веса мы не добавляем один и тот же элемент дважды.

{{Определение| classdefinition=Комбинаторным объектом <tex dpi="wikitable130" >Z</tex> называется комбинаторный объект, состоящий из одного атома веса <tex dpi="130">1</tex>. |-align<tex dpi="center130" >Z=\left \{ ① \right \}</tex>  !<tex dpi="130">SeqZ(At)=t</tex>}}{{Определение||definition=Комбинаторным объектом <tex dpi="130">\varepsilon</tex> называется комбинаторный объект, состоящий из одного атома веса <tex dpi="130">0</tex>. <tex dpi="130">\dfracvarepsilon=\left \{\circ \right \}</tex> <tex dpi="130">\varepsilon(t)=1</tex>}} ==Объединение комбинаторных классов== Одинаковых объектов также нет, мы ставим разные метки на одинаковые объекты из разных классов, чтобы сделать их различными. <tex dpi="350">c_n=a_n+b_n</tex> <tex dpi="350">C(t)=\left ( \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1-a_i \cdot t^i}{i!} \right ) + \left ( \sum_{i=0}^{\infty}\frac{b_i \cdot t^i}{i!} \right ) = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(a_i + b_i)\cdot t^i}{i!}=A(zt)+B(t)</tex>  ==Пары комбинаторных классов (декартово произведение комбинаторных классов)== Декартово произведение, определенное для непомеченных объектов, нам не даст корректный комбинаторный объект. Пусть <tex dpi="350">A= \{</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">\}</tex>,<tex dpi="350">B= \{</tex> [[Файл:1-2-3.png|50px]] <tex dpi="350">\}</tex>. Тогда пара <tex dpi="350">(</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">,</tex>[[Файл:1-align2-3.png|50px]]<tex dpi="350">)</tex> будет иметь вес 5, но атомы не будут иметь различные пометки от 1 до 5. Поэтому введем оператор <tex dpi="center350">A \star B</tex>, который !# Перебирает все пары из <tex dpi="350">A</tex> и <tex dpi="350">B</tex>.# В каждой паре перебирает все возможные способы перенумеровать атомы. Нумерация идёт в том же порядке, что и изначальная. То есть для каждого цикла при фиксированном наборе номеров есть ровно 1 способ занумеровать. Таким образом, в классе <tex dpi="350">A \star B</tex> будет лежать <tex dpi="130350">PSet(A</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">,</tex>[[Файл:3-4-5.png|50px]]<tex dpi="350">)</tex>, но не будет лежать <tex dpi="350">(</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">,</tex>[[Файл:3-5-4.png|50px]]<tex dpi="350">)</tex>. <tex dpi="130350">c_n=\prodsum_{k=0}^na_kb_{n-k}\limits_binom{n }{k}=\geqslant 1sum_{k=0}(1+z^na_kb_{n-k}\frac{n!}{k!(n-k)!}=n! \cdot \sum_{k=0}^n\frac{a_k}{k!}\frac{A_b_{n-k}}{(n-k)!}</tex> <tex dpi="350">C(t)=A(t) \expcdot B(t)</tex> ==Последовательности комбинаторных классов== ===Ограниченная конструкция=== Последовательности длины <tex dpi="350">k</tex>, как и в непомеченных комбинаторных объектах, формируются следующим образом: * Cоставляются все возможные последовательности из <tex dpi="350">k</tex> объектов из <tex dpi="350">A</tex>* Перенумеруются всеми возможными способами. Их принято обозначать <tex dpi="350">Seq_k(A)</tex>. <tex dpi="350">n</tex>-тый член выражается следующим образом: <tex dpi="350">b_n=\sum_{t_1+t_2+...+t_k=n}\binom{n}{t_1}\cdot\binom{n-t_1}{t_2}\cdot...\cdot\binom{t_k}{t_k}\sumcdot\limits_prod_{i=1}^{k }a_{t_i}=\geqslant sum_{t_1+t_2+...+t_k=n}\binom{n}{t_1, t_2,...,t_k}\cdot\prod_{i=1}^{k}a_{t_i}=\sum_{t_1+t_2+...+t_k=n}\dfracfrac{(-n!}{t_1! \cdot t_2! \cdot ... \cdot t_k!}\cdot\prod_{i=1)}^{k}A(za_{t_i}=n!\sum_{t_1+t_2+...+t_k=n}\prod_{i=1}^{k})\frac{a_{t_i}}{t_i!}</tex> Поэтому производящая функция {{---}} <tex dpi="350">B(t)=\left ( A\left (t\right ) \right )^k</tex> ===Неограниченная конструкция=== Определение <tex dpi="350">Seq(A)</tex> не изменилось. {{Утверждение|statement=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\frac{1}{1 - A(t)}</tex>|proof=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}A(t)^i=\frac{1}{1 -alignA(t)}</tex> (Геометрическая прогрессия)}} Действует ограничение на <tex dpi="center350" !>b_0=B(0)=0</tex>, как и на <tex dpi="350">Seq(A)</tex> и <tex dpi="130350">MSet(A)</tex>||в формализме непомеченных объектов. ====Пример==== '''Перестановки'''* <tex dpi="350">P=Seq(Z)</tex>* Экспоненциальной производящей функцией является <tex dpi="130350">P(t)=\prodfrac{1}{1-t}</tex>.* Обычной производящей функции <tex dpi="350">\limits_frac{1}{n 1-t}</tex> соответствует считающая последовательность <tex dpi="350">\left \geqslant { 1, 1, ..., 1\right \}</tex>, поэтому <tex dpi="350">[t_n]\dfracfrac{1}{(1-z^t}=1</tex>.* <tex dpi="350">p_n=n!\cdot[t_n]p(t)=n!</tex> ==Урны==Кобинаторный класс "Урна" {{n---}})^множество, характеризующееся только количеством атомов в объекте, то есть элементов каждого веса {A_{n---}}<tex dpi="350">1</tex>, поэтому <tex dpi="350">a_n=1</tex>. Производящая функция этого класса {{---}}<tex dpi="350">edf(t)=\exp(sum_{n=0}^{\suminfty}\limits_frac{k 1\geqslant 1cdot t^n}{n!}=\dfracsum_{A(zn=0}^{k\infty})\frac{t^n}{kn!})=e^t</tex>.|-align==Множества== В формализме помеченных объектов <tex dpi="center350">MSet=Set</tex>, потому что не бывает одинаковых элементов в множествах. ===Ограниченная конструкция=== {{Определение !|definition=Ограниченным множеством <tex dpi="130350">PairA=Set_k(A,B)</tex>||назовём множество из <tex dpi="130350">Ak</tex> объектов (zпорядок не важен).}} Рассмотрим <tex dpi="350">\left \{ a_1, a_2, ..., a_k \right \} \in Set_k(B)</tex> и разобьем последовательности в <tex dpi="350">Seq_k(zB)</tex>на классы эквивалентности по признаку равенства множеств элементов в них. Каждому <tex dpi="350">Set_k(B)</tex> [[Отображения|-alignбиективно]] соответствует <tex dpi="center350" >k!</tex> последовательностей в <tex dpi="130350">CycleSeq_k(AB)</tex>||, потому что все объекты различны. <tex dpi="130350">Set_k(B)\sumcdot k!=Seq_k(B)</tex> <tex dpi="350">Set_k(B)(t)=A(t)=\limits_frac{n \geqslant 1left ( B \left ( t \right ) \right )^k}{k!}</tex> ===Неограниченная конструкция=== <tex dpi="350">A=Set(B)=\dfracsum_{k=0}^{\phiinfty}Set_k(nb)</tex> {{---}} множества объектов (порядок не важен). Ограничение <tex dpi="350">b_0=B(0)=0</tex> также действует. <tex dpi="350">Set(A)(t)=\sum_{nk=0}^{\lninfty}\dfracfrac{1A(t)^k}{k!}=e^{1 - A(z^nt)}</tex> Можно рассматривать <tex dpi="350">Set(A)</tex> как композицию урны и <tex dpi="350">A</tex>, где другими словами, можно вместо атомов в урне взять объекты класса <tex dpi="130350">A</tex>. ==Циклы== ===Ограниченная конструкция=== {{Определение|definition=Цикл <tex dpi="350">\phiA=Cycle_k(nB)</tex> {{---}} [[Функция_Эйлера | функция Эйлера]]ориентированная циклическая последовательность из <tex dpi="350">k</tex> объектов класса <tex dpi="350">B</tex>. Циклов нулевой длины <tex dpi="350">0</tex>, то есть, <tex dpi="350">c_0=0</tex>.|}}

Однако порой некоторые комбинаторные классы удобнее обозначать как помеченные. Например, {{---}} помеченные графыУтверждение|statement=Каждому циклу <tex dpi="350">(b_1, b_2, ... С помеченными объектами используется экспоненциальная производящая функция , b_k)</tex> длины <tex dpi="350">k</tex> биективно соответствует <tex dpi="350">k<ref/tex>упорядоченных последовательностей ([[https://en.wikipedia:exponential generating function | Wikipedia {{---.org/wiki/Cyclic_permutation циклические перестановки] элементов цикла).}} Exponential generating function]]</ref>. В данном случае для некоторых рассмотренных классов используются следующие производящие функции:

{| class="wikitable" |-align="center" !<tex dpi="130">Seq(A)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{1}{1-A(z)}</tex>|-align="center" !Поэтому <tex dpi="130350">PsetSeq_k(A)</tex>||<tex dpi="130">k\exp(A(z))</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">Pair(A,B)</tex>||<tex dpi="130">A(z)B(z)</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">Cyclecdot Cycle_k(A)</tex>||<tex dpi="130">\ln\dfrac{1}{1-A(z)}</tex>.|}

===Ограниченные конструкции===Иногда в анализе необходимо ввести ограничение на количество компонентов. Такой случай обозначается нижним коэффициентом (напримерЗначит, экспоненциальная производящая функция циклов {{---}} <tex dpi="130350">Seq_Cycle_k(A)(t)=\frac{k}Seq_k(A)</tex> (t)}{k}=\frac{---A(t)^k}{k} <tex dpi="130">k</tex> компонентов).

Непосредственной формулой для производящих функций является диагональ <tex dpi="130">\Delta</tex> декартова произведения <ref>[[wikipedia:Cartesian product | Wikipedia {{---}} Декартово произведение]]</ref> <tex dpi="130">A \times A</tex>, определяемая как <tex dpi="130">B \equiv \Delta(A \times A) : \{(a, a) \mid a \in A\}</tex>. Тогда имеет место соотношение <tex dpiНеограниченная конструкция=="130">B(z)=A(z^{2})</tex>.

Диагональная конструкция позволяет получить доступ к классу всех неупорядоченных пар из различных элементов из {{Определение|definition=Циклы <tex dpi="130350">A</tex>, то есть к <tex dpi="130">P Cycle(B)=\sum_{k= PSet_0}^{2\infty}Cycle_k(AB)</tex>. Прямое выражение выполняется следующим способом: неупорядоченная пара }}<tex dpi="130350">\langle \alpha, \beta \rangle </tex> связана с двумя упорядоченными парами <tex dpiCycle(A)(t)="130">(\langle \alpha, \beta \rangle </tex> и <tex dpisum_{k="130">0}^{\langle \beta, \alpha \rangle infty}Cycle_k(A)(t)</tex>, кроме тех случаев, когда <tex dpi="130">0+\alpha sum_{k= 1}^{\infty}\beta</tex>, то есть когда пара лежит на диагонали декартова произведения. Другими словами, <tex dpi="130">PSet_frac{2}A(At) + PSet_^k}{2k}=-ln \left (1+\left (-A(t)\right ) \right ) + =-ln \Deltaleft (1-A (t) \times Aright ) =ln\left (\cong frac{1}{1-A (t)}\times Aright )</tex>.(Разложение натурального логарифма в ряд Тейлора)

Это, в свою очередь, означает что <tex dpi="130">2P(z) + A(z^{2}) = A(z)^{2}</tex>См. Таким образом можно выразить <tex dpiтакже="130">PSet_{2}(A)</tex>. Аналогично для <tex dpi="130">Seq_{2}(A)</tex>, <tex dpi="130">MSet_{2}(A)</tex> *[[Конструирование комбинаторных объектов и их подсчёт]]*[[Функция Эйлера]]*[[Лемма Бёрнсайда и <tex dpi="130">Cycle_{2}(A)</tex>:Теорема Пойа]]*[[Задача об ожерельях]]*[[Числа Каталана]]*[[Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке]]*[[Подсчет деревьев]]

{| class="wikitable" |-align="center" !<tex dpi="130">Seq_{2}(A)</tex>||<tex dpi="130>A(z)^{2}</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">PSet_{2}(A)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{A(z)^{2}}{2}-\dfrac{A(z^{2})}{2}</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">MSet_{2}(A)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{A(z)^{2}}{2}+\dfrac{A(z^{2})}{2}</tex>|-alignПримeчания="center" !<tex dpi="130">Cycle_{2}(A)<references/tex>||<tex dpi="130">\dfrac{A(z)^{2}}{2}+\dfrac{A(z^{2})}{2}</tex>|}

Аналогичные рассуждения можно провести и для больших <tex dpi="130">k<Источники информации=*[https:/tex>/youtu.be/J2L-vdytqC0?list=PLrV7qfjOKnis2aCBAVcirxr_oxhNKoO6e Artem Vasilyev {{---}} Descrete maths lectures, однако расчеты быстро становятся сложнымиunmarked objects]*[https://youtu. Классический способ исправления таких вопросов be/UwOjanKAMt0?list=PLrV7qfjOKnis2aCBAVcirxr_oxhNKoO6e Artem Vasilyev {{---}} Descrete maths lectures, marked objects]*[[Лемма Бёрнсайда https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Конструирование_комбинаторных_объектов_и_их_подсчёт Викиконспекты {{---}} Конструирование комбинаторных объектов и Теорема Пойа#Теорема Пойа | теорема Пойаих подсчёт]*[https://en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_method_(combinatorics) Wikipedia {{---}} Symbolic method].

Однако в методе символов предлагается более глобальный подход, основанный на многомерных производящих функциях и использующий ряд Бюрмана-Лагранжа <ref>[[wikipediaКатегория:Lagrange inversion theorem | Wikipedia {{---}} Lagrange inversion theorem]]</ref>. В общем случае, используя метод символов, производящие функции ограниченных конструкций можно подсчитать следующим способом: {| class="wikitable" |-align="center" !<tex dpi="130">Seq_{k}(A)</tex>||<tex dpi="130">A(z)^{k}</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">PSet_{k}(A)</tex>||<tex dpi="130">[u^{k}Дискретная математика и алгоритмы]\exp(-\sum\limits_{i=1}^{k}\dfrac{(-1)^{i}u^{i}A(z^{i})}{i})</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">MSet_{k}(A)</tex>||<tex dpi="130">[u^{k}]\exp(\sum\limits_{i=1}^{k}\dfrac{u^{i}A(z^{i})}{i})</tex>|-align="center" !<tex dpi="130">Cycle_{k}(A)</tex>||<tex dpi="130">[u^{k}]\sum\limits_{i \geqslant 1}\dfrac{\phi(i)}{i}\ln\dfrac{1}{1 - u^{i}A(z^i)}</tex>, где <tex dpi="130">\phi(n)</tex> {{---}} [[Функция_Эйлера | функция ЭйлераКатегория: Комбинаторика]].|}