Изменения

Основная задача рекомендательных систем <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 Рекомендательные системы]</ref> {{---}} проинформировать пользователя о товарах или услугах, которые будут для него наиболее интересными и актуальными. Разнообразие таких систем можно проиллюстрировать основными характеристиками:

В центре таких систем лежит матрица предпочтений. В этой матрице одна из осей отвечает за пользователей, вторая за объекты рекомендации. Заполнена же эта матрица значениями по заданной шкале (например от <tex>1</tex> до <tex>5</tex>). Каждый клиент с малой долей вероятностью оценивал все объекты рекомендацииТак как каждый пользователь обычно может оценить только небольшую часть объектов, поэтому задача то данная матрица очень разрежена. Задача системы {{---}} это обобщение информации и предсказание: какое отношение отношения пользователя к рекомендуемому объекту будет у пользователя(заполнение пропущенных значений матрицы).

Пользовательские оценкиДанные, необходимые для составления матрицы предпочтенийсообщающие предпочтения пользователя, можно получить двумя способами:

* явно (англ. ''explicit feedback'', ''explicit ratings'');* неявно (англ. ''implicit feedback'', ''implicit ratings'').

Очевидно, что явное оценивание лучшеПри явном оценивании пользователь сам показывает, так как сам пользователь определяет насколько ему интересен тот или иной объект. Типичным примером данных, однако из-за непостоянства полученных при явном оценивании, являются рейтинги, проставленные пользователями объектам. На практике таких данных обычно мало.Гораздо больше имеется информации о неявных предпочтениях пользователя: просмотры, клики, добавления в получении явных оценок от пользователейзакладки. Однако по таким данным не всегда можно сделать явный вывод об отношении пользователя к объекту. Например, если пользователь посмотрел фильм, то это означает, на практике используется оба что до просмотра он ему был интересен, но сделать вывод о том, понравился ли ему фильм, нельзя.В большинстве рекомендательных систем эти два подходаиспользуются вместе, тем самым минимизируются недостатки каждого из них в отдельности.

Формализуем задачу. Имеется множество пользователей <tex> u \in U </tex>, множество объектов <tex> i \in I </tex> и множество событий <tex> (r_{ui}, u, i,\dots) \in D </tex> (действия, которые совершают пользователи с объектами). Каждое событие задается пользователем <tex> u </tex>, объектом <tex> i </tex>, своим результатом <tex> r_{ui} </tex> и, возможно, но не обязательно, другими характеристиками. По итогу от рекомендательной системы требуется:

* предсказать предсказывать предпочтениепользователя <tex> u </tex> к объекту <tex> i </tex>: <tex> \hat{r}_{ui} = Predict(u, i,\dots) \approx r_{ui}; </tex>* выдавать персональные рекомендациидля пользователя <tex> u </tex>: <tex> Recommend_k(u \mapsto (i_1,\dots, i_k) = Recommend_k(ui_1,\dots, i_k); </tex>* определять объекты, похожие объектына объект <tex>i</tex>: <tex> u \mapsto Similar_M(i) = (i_1,\dots, i_M) = Similar_M(i). </tex>

* нечего рекомендовать новым пользователям, так как их невозможно определить отнести к какому-либо кластеру;

Данная проблема актуальна для новых объектов или объектов, которые с которыми пользователи редко покупаютсовершают действия. Если средний рейтинг посчитан по оценкам всего трёх пользователей, такая оценка явно не будет достоверной, и пользователи это понимают. Часто в таких ситуациях рейтинги искусственно корректируют.

'''Второй способ.''' Будем рассчитывать по каждому рейтингу интервалы достоверности Для объекта считается средний рейтинг, затем определяется доверительный интервал(англ. ''сonfidence intervalsinterval'')этого рейтинга. Математически, чем больше оценок, тем меньше вариация среднего и, значит, больше уверенность в его корректности. А в качестве рейтинга объекта можно выводить, например, нижнюю границу интервала (англ. ''low CI bound''). При этом понятно, что такая система будет достаточно консервативной, с тенденцией к занижению оценок по новым товарамобъектам.

Заменим жесткую кластеризацию на предположение, что объект понравится пользователю, если он понравился его друзьямпохожим пользователям.Тогда предпочтение пользователя <tex>u</tex> к объекту <tex>i</tex> можно записать следующим образом:

<tex> \hat{r}_{ui} = \bar{r}_u + \dfrac{\sum_{v \in U_i}{}{sim(u, v)(r_{vi} - \bar{r}_v)}}{\sum_{v \in {U_i}}{}{sim(u, v)}} </tex>, где <tex>\bar{r}_u</tex> {{---}} средняя оценка, проставленная пользователем <tex> u </tex>, а <tex> sim(u,v) </tex> {{---}} мера схожести пользователей <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Также имеется абсолютно симметричный алгоритм. Теперь будем считать, что объект понравится пользователю, если ему понравились похожие объекты.Предпочтение пользователя <tex>u</tex> к объекту <tex>i</tex> запишется так:

<tex> \hat{r}_{ui} = \bar{r}_i + \dfrac{\sum_{j \in I_u}{}{sim(i, j)(r_{uj} - \bar{r}_j)}}{\sum_{j \in {I_u}}{}{sim(i, j)}} </tex>, где <tex>\bar{r}_i</tex> {{---}} средняя оценка, проставленная объекту <tex> i </tex>, а <tex> sim(i, j) </tex> {{---}} мера схожести объектов <tex>i</tex> и <tex>j</tex>.

Из свойств сингулярного разложения мы знаем, что матрица <tex> R'_{n \times m} </tex> является наилучшим низкоранговым приближением с точки зрения средне-квадратичного отклонения. Несколько упростим запись выражения: запишем произведение первых двух матриц <tex> \tilde{U}_{n \times d} = U'_{n \times d} \times \Sigma '_{d \times d} </tex>, а матрицу <tex> V'^T_{d \times m} </tex> обозначим как <tex> \tilde{V}_{d \times m} </tex>. Получим формулу <tex> R'_{n \times m} = \tilde{U}_{n \times d} \times \tilde{V}_{d \times m} </tex>. Интерпретировать полученную формулу стоит следующим образом: приближенная матрица оценок может быть вычислена как произведение усеченных матриц пользователей и оценок.

[[Файл:3RecommendSVD.png|400px450px|thumb|right|SVD для рекомендательных систем.]]

Чтобы предсказать оценку пользователя <tex> U u </tex> для объекта <tex> I i </tex>, берём некоторый вектор <tex> p_u </tex> для данного пользователя и вектор данного объекта <tex> q_i </tex>. Получаем необходимое предсказание: <tex> \hat{r}_{ui} = \langle p_u,q_i \rangle </tex>.

* матрица оценок <tex> R </tex> полностью не известна, поэтому просто взять SVD разложение не является представляется возможным;

Для решения проблем, связанных с матрицей оценок <tex> \hat{r}_{ui}(\Theta) = p^T_uq_i R</tex>, построим модель.

Модель будет зависеть от следующих параметров: вектор пользователей и вектор объектов. Для заданных параметров <tex> u </tex> и <tex>i</tex> возьмем вектор пользователя <tex> p_u </tex> и вектор объекта <tex>q_i</tex>, затем для предсказания оценки получим их скалярное произведение, как и в алгоритме SVD:<tex> \hat{r}_{ui}(\Theta) = p^T_uq_i </tex>, где <tex> \Theta = \{p_u, q_i \mid u \in U, i \in I\} </tex>.

То есть, нужно найти такие параметры <tex> \Theta </tex>, чтобы квадрат ошибки был наименьшим. Однако ситуация следующая: оптимизация приведет к наименьшим ошибкам в будущем, но как именно оценки будут спрашивать {{---}} неизвестно. Следовательно, это нельзя оптимизировать. Однако, так как оценки, уже проставленные пользователями, известны, постараемся минимизировать ошибку на тех данных, что у нас уже есть. Также добавим регуляризаторвоспользуемся [[Регуляризация | регуляризацией]]. В качестве регуляризатора будет выступать слагаемое <tex>\lambda \sum_{\theta \in \Theta}{\theta^2}</tex>. Получим, следующее: 

Необходимо оптимизировать данный функционал. Множество параметров: для каждого объекта и пользователя есть свой вектор<tex> J(\Theta) = \sum_{(u, который нужно оптимизировать. Дабы найти минимум функции воспользуемся градиентом i) \in D}{(p^T_uq_i - r_{ui})^2} + \lambda (\sum_u{---||p_u||^2}+ \sum_i{||q_i||^2} вектор из частных производных по каждому параметру) </tex>.

<tex> \nabla J(\Theta) = (\dfrac{\partial J}Множество параметров: для каждого объекта и пользователя есть свой вектор, который нужно оптимизировать. Чтобы найти минимум функции можно использовать [[ Стохастический градиентный спуск | метод градиентного спуска]]. Для этого нам понадобится градиент {\partial \theta_1}, \dfrac{\partial J---}{\partial \theta_2}вектор из частных производных по каждому параметру,\dots,\dfrac{\partial J}{\partial \theta_n})^T </tex>который в нашем случае будет выглядеть так:

Шаг градиентного спуска можно записать следующим образом: <tex> \Theta_{t+1} = \Theta_t - \eta \nabla J(\Theta) </tex> Проблема же заключается в том, что алгоритм работает медленно, а минимумы которые он находит где <tex> \eta </tex> {{---}} локальные, а не глобальныекоэффициент скорости обучения.

Было предложено измерять Зачастую качество рекомендаций при помощи измеряется с помощью функции ошибки [[ Оценка_качества_в_задачах_классификации_и_регрессии#.D0.9A.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BD.D1.8C_.D0.B8.D0.B7_.D1.81.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.BD.D0.B5.D0.B9_.D0.BA.D0.B2.D0.B0.D0.B4.D1.80.D0.B0.D1.82.D0.B8.D1.87.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BE.D1.88.D0.B8.D0.B1.D0.BA.D0.B8_.28.D0.B0.D0.BD.D0.B3.D0.BB._Root_Mean_Squared_Error.2C_RMSE.29 | RMSE]]:

<tex> RMSE = \sqrt{\dfrac{1}{|D|} \sum_{(u,i) \in D}{(\hat{r}_{ui} - r_{ui})^2}} </tex>.

Однако она также обладает недостаткамиДанный способ, хоть и является стандартом измерения стандартным для измерением качества, имеет ряд недостатков: * Пользователи пользователи с большим разбросом оценок будут влиять на значение метрики больше, чем остальные.;* Ошибка ошибка в предсказании высокой оценки имеет такой же вес, что и ошибка в предсказании низкой оценки.;* Есть есть риск плохого ранжирования при почти идеальной RMSE и наоборот.