Изменения

Временные ряды {{---}} это актуальный инструмент применимые , применимый во множестве решений, от предсказания цен на акции, прогнозов погоды, планирования бизнеса, до распределения ресурсов. Несмотря на то, что прогнозирование может быть сведено к построению контролируемой [[Вариации регрессии|регрессии]], существуют особенносстиособенности, связанные с временным характером наблюдений, которые необходимо учитывать, используя специальные инструменты.<br>

Обычно временной <br>{{Определение|definition ='''Временно́й ряд представляется как стохастический процесс Y(tили ряд динамики), то есть ряд случайных переменных. В момент предсказания мы находимся ''' {{---}} собранный в моменте t и нужно предположить значение Yразные моменты времени статистический материал о значении каких-либо параметров (t+bв простейшем случае одного), использую только информацию, доступную в момент tисследуемого процесса. Каждая единица статистического материала называется измерением или отсчётом. Во временном ряде для каждого отсчёта должно быть указано время измерения или номер измерения по порядку.}}

==Как валидировать и тестировать модель временного ряда?==Из-за временных зависимостей данных большинство других видов анализа, анализ временных рядов, мы не можем пользоваться обычными способами валидации. Чтобы избежать смещения оценки мы должны удостоверитьсяпредполагает, что обучающие наборы данных данные содержат только наблюдениясистематическую составляющую (обычно включающую несколько компонент) и случайный шум (ошибку), который затрудняет обнаружение регулярных компонент. Большинство методов исследования временных рядов включает различные способы фильтрации шума, которые произошли до событий из валидирующий наборовпозволяющие увидеть регулярную составляющую более отчетливо.<br>[[ФайлБольшинство регулярных составляющих временных рядов принадлежит к двум классам:TimeSeriesCross-validationони являются либо трендом, либо сезонной составляющей.png |thumb|left|400px|Рисунок 1Тренд представляет собой общую систематическую линейную или нелинейную компоненту, которая может изменяться во времени. кроссСезонная составляющая {{-валидация временного ряда<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascience}} это периодически повторяющаяся компонента. Оба эти вида регулярных компонент часто присутствуют в ряде одновременно.com]</ref>]]<br>

Возможным способом преодоления данной проблемы будет использование скользящего окна==Валидирование и тестирование модели временного ряда==<br>Данные упорядочены относительно неслучайных моментов времени, и, значит, в отличие от случайных выборок, могут содержать в себе дополнительную информацию, как описано поэтому нельзя пользоваться обычными способами валидации. Чтобы избежать смещения оценки необходимо удостовериться, что обучающие наборы данных содержат только наблюдения, которые произошли до событий из валидирующиx наборов.<br>[[Файл:TimeSeriesCross-validation.png |thumb|left|400px|[https://robjhyndmantowardsdatascience.com/hyndsight/tscv/ здесьan-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb Рисунок 1.]. Эта процедура называется кроссКросс-валидацией валидация временного ряда и может быть вкратце описано следующей картинкой(рис. 1), в которой синие точки обозначают тренировочный набор данных, а красные соответствующие валидационные наборы данных.]]<br>

Если мы хотим предсказать следующие n шагов, то можно заранее кросс-валидировать 1,2Возможным способом преодоления данной проблемы будет использование скользящего окна,как описано [https://robjhyndman.com/hyndsight/tscv/ здесь]..,n шагов. Таким образов можно также сравнить качество предсказаний для разных Эта процедура называется [[временные горизонтыКросс-валидация|временных горизонтовкросс-валидацией]] ^{[на 07временного ряда и может быть вкратце описана следующей картинкой (рис.01.21 не создан]}1), в которой синие точки обозначают тренировочный набор данных, а красные соответствующие валидационные наборы данных.<br><br>

Если необходимо предсказать следующие $n$ шагов, то можно заранее кросс-валидировать $1,2,...,n$.<br> Таким образом можно также сравнить качество предсказаний для разных временных горизонтов.<br><br> Определив лучшую модель, мы можем можно применить её ко всему обучающему набору и оценить его работу на следующем во времени наборе данных. Оценка работы может быть дана с использованием метода скользящего окна<ref>[https://wiki.loginom.ru/articles/windowing-method.html loginom: Метод скользящего окна]</ref>, который мы использовали используем при кросс-валидации, но без переподсчёта параметром параметра модели.

[[Файл:ManufactureOfElectricalEquipment.png|thumb|leftright|400px300px|Рисунок 2. Набор данных описывающий график производства электрооборудования<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascience.com]</ref>]]<br>[[Файл:SeasonalPlotMonthluSeasonalPattern.png|thumb|left|300px|Рисунок 32. Сезонные колебания<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascience.com]</ref>Набор данных описывающий график производства электрооборудования]]В следующей части мы попробуем использовать несколько разных моделей для предсказания изменений в промышленного производства, которое будем оценивать численно, как количество электро оборудования, произведённого в зоне Евро.<br>

Данные легко получить из пакета [https://cran.r-project.org/package=fpp2 fpp2] В данной части используется несколько разных моделей для предсказания изменений в промышленном производстве,<br> которые для примера будем оценивать численно, как количество электрооборудования, произведённого в Rзоне Евро (рис. Чтобы набор можно было использовать вне R просто запустите следующий код в среде R2, 3).<br>  '''library'''(fpp2) '''write[[Файл:SeasonalPlotMonthluSeasonalPattern.csv'''(elecequip,file = “elecequippng|thumb|right|300px|[https://towardsdatascience.csv”,rowcom/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb Рисунок 3.names = FALSE)] Сезонные колебания]]Набор данных описывает ежемесячное производство электрооборудования(компьютеры электрические и оптические приборы)(рис. 2) в зоне евро(17 стран) в период с января 1996 по март 2012 года (см. график ниже). Последние два года будем использовать при тестировании.<br>   Временной ряд имеет пик в конце 2000 и другой в течение 2007. Также наблюдается большой спад в конце 2008 года, который, видимо, совпал с мировым финансовым кризисом,который случился в том же году. В течение каждого года можно увидеть повторяющийся рисунок, описывающий сезонные колебания(рис. 3). Посмотрим ближе на графики каждого года, чтобы лучше его понять, представим графики в декартовых и полярных координатах.<br>   Можно наблюдать сильно выраженные сезонные изменения, особенно большой спад в августе, связанный с летними каникулами(рис. 4).<br><br><br>

Такие предскания предполагаютСуществует 10 моделей прогнозирования, что стохастическая у каждой имеются свои достоинства и недостатки. Ниже, используя каждую модель генерирует случайное блуждание(рис, предскажем 12 месяцев, соответственно, значение $t+1, t+2, …, t + 12$. 4)Имеет смысл использовать среднюю абсолютную ошибку для работы оценки модели.<br>[[Файл:SeasonalNaiveElectricalEquipmentManufacturing.png|thumb|left|Рисунок 5. Сезонно наивная<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascience.com]</ref>]]<br>Расширение наивной модели (рис. 5)SNAIVE {{---}} сезонно-наивная модель предполагает, что временной ряд имеет сезонную компоненту, и что период сезонности T.<br>

Прогнозы SNAIVE - модели описываются формулой <code>Предсказания для каждого горизонта соотвествуют последнему наблюдаемому значению$Y*(t+h|t) = Y(t+h-T)</code>$.

Получаемые прогнозы следующий T шагов совпадают с предыдущими T шагамиТакие предскания предполагают, что стохастическая<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Стохастичность Википедия: Стохастичность]</ref> модель генерирует [[Участник:Mk17.ru|случайное блуждание]].<br>[[Файл:SeasonalNaiveElectricalEquipmentManufacturing.png|thumb|left|[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb Рисунок 5. ] Cезонно-наивная]]<br>Эти модели часто используются как ориентировочные Расширение наивной моделисезонно-наивная модель (англ. Следующий график показывает предсказания двух моделей для 2007 годаSeason Naive, SNAIVE) {{---}} сезонно-наивная модель предполагает, что временной ряд имеет сезонную компоненту, и что период сезонности $T$.<br>

Модели были имплементированы Получаемые прогнозы следующие $T$ шагов совпадают с помощью встроенных функций naive и snaive из пакета forecast в Rпредыдущими $T$ шагами.Эти модели часто используются как ориентировочные модели. Следующий графики показывают предсказания двух моделей для 2007 года (рис. 4, 5).<br><br>

[[Файл:STL_docompositionOnIndustrialProductionIndexData.png|thumb|Рисунок 6. Методы разложения ряда<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascienceРисунок 6.com]</ref>Методы разложения ряда]]<br>Если данные показывают, что они воспроиимчивы восприимчивы к периодическим-(сезонным ) изменениям(ежедневно, еженедельно, ежеквартально, ежегодно), то будет полезным разложить исходный временной ряд на сумму трёх компонентов.<br>

<code>$Y(t) = S(t) + T(t) + R(t)</code>$<br>$S(t) $ {{---}} сезонный компонент.<br>$T(t) $ {{---}} компонент трендового цикла.<br>$R(t)$ {{---}} остаток.<br>Существуют несколько способов для такого разложения, но наиболее простой называется классическим разложением и заключается в том, чтобы<br>Оценить оценить тренд $T(t) $ через скользящее среднее<br>Посчитать , посчитать $S(t)$, как среднее без тренда $Y(t) - T(t) $ для каждого сезона.<br>Посчитать остаток, как <br> $R(t) = Y(t) - T(t)-S(t)$.<br>[[Файл:SeasonallyAdjustedIndustrial.png |thumb|left|Рисунок 7. Сезонные индексы ряда<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascienceРисунок 7.com]</ref>Сезонные индексы ряда]]<br>Классическое разложение можно расширить несколькими способами.<br>

*непостоянной величине сезона; *посчитать начальные и конечные значение значения декомпозиции; *избежать лишнего сглаживания;

Обзор методов разложений ряда можно увидеть по [https://otexts.com/fpp2/decomposition.html ссылке]. Мы воспользуемся реализацией Используется реализация из стандартной библиотеки(рис. 6), которая достаточно универсальна и надёжна.<br>

1)разложить Разложить обучающий набор алгоритмом из STL.<br>2)посчитать Посчитать сезонное отклонение ряда $Y(t)-S(t)$, используя любую модель для прогнозирования сезоносезонно-чувствительного временного ряда.<br>3)Добавить прогнозам сезонность последнего временного периода во временном ряду(в нашем случае $S(t) $ для прошлого года).<br>[[Файл:SeasonallyAdjustedTimeSeries.png|right|thumb|Рисунок 8. Декомпозиция и наивная модель<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascienceРисунок 8.com]</ref>Декомпозиция и наивная модель]]<br>На следующем графике показаны сезонные индексы ряда с учётом сезонности (рис. 7):<br>.

Следующий график показывает предсказания полученные расчёты для 2007 года с использованием STL декомпозиции и наивной модели(рис. 8) для сезонно-изменяемого временного ряда:.<br> Декомпозиция была исплементирована с помощью встроенной в стандартную либу функции.

<br>[[Файл:ExpSmoothing.png|thumb|left|Рисунок 9. данные полученные для 2007 года с использованием модели экспоненциального сглаживания<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascienceРисунок 9.com]Данные полученные для 2007 года с использованием модели экспоненциального сглаживания]]Экспоненциальное сглаживание</ref>]][https://ru.wikipedia.org/wiki/Экспоненциальное_сглаживание Википедия: Экспоненциальное сглаживание ]</ref> {{---}} один из наиболее успешных классических методов предсказаний. В своей базовой форме оно он называется простым экспоненциальный сглаживанием и его прогнозы описываются формулами:<code>$Ŷ(t+h|t) = ⍺y(t) + ⍺(1-⍺)y(t-1) + ⍺(1-⍺)²y(t-2) + …$</codebr>где'''''with $0<⍺<1.$ '''''. Если $⍺ = 0$, то текущие наблюдения игнорируются, если же $⍺ = 1$, то полностью игнорируются предыдущие наблюдения.<br>[[Файл:ExpSmoothing+Decomposition.png|thumb|right|Рисунок 10. данные полученные для 2007 года с использованием модели экспоненциального сглаживания и декомпозиции<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascienceРисунок 10.com]</ref>Данные полученные для 2007 года, с использованием модели экспоненциального сглаживания и декомпозиции]]

ЗаметимЗаметно, что прогнозы равны взвешенному среднему от старых наблюдений, и что соответствующие веса убывают экспоненциально по мере хода времени.

Экспоненциальное сглаживание состоит из 9 моделей, которые подробно описаны [https://otexts.com/fpp2/taxonomy.html здесь(ссылка) Следующие графики(рис. 9, 10) описывают прогнозы данные полученные для 2007 года с использованием модели экспоненциального сглаживания(выбраны автоматически), которые подходили исходному и сезонно-чувствительному временному ряду].<br>

Модели были имплементированы Следующие графики (рис. 9, 10) описывают прогнозы данных полученные для 2007 года, с помощью функции ets в forecast пакете Rиспользованием модели экспоненциального сглаживания (выбраны автоматически), которые подходили исходному и сезонно-чувствительному временному ряду.<br>

<br>[[Файл:SARIMA.png |thumb|left|Рисунок 11. SARIMA<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascienceРисунок 11.com]</ref>SARIMA]]Также как и экспоненциальное сглаживание, интегрированная модель авторегрессии скользящего среднего (англ. autoregressive integrated moving average, ARIMA ) также часто используются для прогноза временных рядов. Название является акронимом AutoRegressive Integrated Moving Average Саморегрессивное интегрированное скользящее среднее

[[Файл{{Определение |definition = '''Процесс авторегрессии''' {{---}} последовательная зависимость элементов временного ряда, выразается следующим уравнением:SARIMA_Decomposition$x(t) = \psi + \phi_1 * x_(t-1) + \phi_2 * x_(t-2) + \phi_3 * x_(t-3) + ..png|thumb|right|Рисунок 12. SARIMA декомпозированная+ \epsilon$<refbr>[https://towardsdatascience.com/anГде $\psi$ {{-overview-of-time}} свободный член (константа).<br>$\phi_1, \phi_2, \phi_3, ...$ {{-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascience}} параметры авторегрессии.com]</ref>]]ARIMA }}{{Определение|definition ='''Скользящее среднее''' {{---}} комбинация этих двух подходовобщее название для семейства функций, значения которых в каждой точке определения равны некоторому среднему значению исходной функции за предыдущий период. Так как эти подходы требуют стационарности временного ряда, может понадобится продифференциировать/проинтегрировать рядТо есть рассматировать ряд разностей, а не исходный ряд}}

SARIMA учитывает сезонность, добавляя линейную комбинацию прошлых сезонных значений и/или прошлых {{Определение|definition ='''Процесс скользящего среднего''' {{---}} в процессе скользящего среднего каждый элемент ряда подвержен суммарному воздействию предыдущих ошибок прогноза. В общем виде это можно записать следующим образом:Для полного ввода в ARIMA$x_t = \mu + \epsilon_t - \theta_1 * \epsilon_{t-1} - \theta_2 * \epsilon_{t-2} - ...$ <br>Где $\mu$ {{---}} константа.<br>$\theta_1, \theta_2, \theta_3, SARIMA читайте по ...$ {{---}} параметры скользящего среднего.}} [[Файл:SARIMA_Decomposition.png|thumb|right|[https://otextstowardsdatascience.com/fpp2an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb Рисунок 12.] SARIMA декомпозированная]]ARIMA {{---}} комбинация этих двух подходов. Так как эти подходы требуются стационарности временного ряда, может понадобится продифференциировать/arimaпроинтегрировать ряд.То есть рассматировать ряд разностей, а не исходный ряд.html ссылке]

Данные графики показывают предсказания полученные для 2007 года с использованием модели SARIMAСезонная интегрированная модель авторегрессии скользящего среднего (рисангл. 11season autoregressive integrated moving average,12SARIMA)учитывает сезонность, добавляя линейную комбинацию прошлых сезонных значений и/или прошлых ошибок прогноза.Более подробную информацию про ARIMA, SARIMA читайте по [https://otexts.com/fpp2/arima.html ссылке].

Имплементация Данные графики показывают предсказания полученные для 2007 года, с помощью встроенной в R функции autoиспользованием модели SARIMA (рис.arima11,12).<br>

<br>[[Файл:GARCH.png |thumb|rightleft|Рисунок 13. ARMA<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascienceРисунок 13.com] ARMA]]</refbr>]] В предыдущих моделях считалось, что слагаемое ошибки в стохастическом процессе генерации временного ряда имело одинаковую дисперсию. В GARСH-модели (англ. Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity, GARCH) предполагается, что слагаемое ошибки следует авторегрессионному скользящему среднему (англ. AutoRegressive Moving Average, ARMA), соответственно слагаемое меняется по ходу времени. Это особенно полезно при моделировании финансовых временных рядов, так как диапазон изменений тоже постоянно меняется (рис. 13). В 1982 году была предложена ARCH {{---}} модель, описываемая формулой: <br>

В предыдущих моделях мы считали, что слагаемое ошибки в стохастическом процессе генерации временного ряды имели одинаковую дисперсию$\sigma^2(t) = \alpha + \sum_{i = 1}^{\alpha}b_ir^{2}_{t-1}$ <br>где $\alpha$ {{---}} коэффициент задержки<br>$\sigma^2(t)$ - волатильность<br>$\sum_{i = 1}^{\alpha}b_ir^{2}_{t-1}$ - линенйная комбинация абсолютных значений нескольких последних изменений значений.

В GARSHПозднее была создана GARCH {{-модели(рис--}} обобщённая ARCH модель, которая также учитывает предыдущие оценки дисперсии. 13) мы преполагаем, что слагаемое ошибки следуют ARMA процессуФормула может быть записана так:$\sigma^2(саморегрессирующее скользящее среднееt)= \alpha + \sum_{i = 1}^{\alpha}b_ir^{2}_{t-1} \sum_{i = 1}^{p}c_i\sigma^{2}_{t-1}$ <br>где p {{---}} количество предшествующих оценок, соответственно слагаемое меняется по ходу временивлияющих на текущее значение. Это особенно полезно при моделировании финансовых временных рядов, так как диапазон изменений тоже постоянно меняется<br>с {{---}} весовые коэффициенты предыдущих оценок.

Обычно ARMA используется и для учёта среднего, для подробного введения более подробное введение в Garsh модели смотри и различные варианты можно найти [https://cran.r-project.org/web/packages/rugarch/vignettes/Introduction_to_the_rugarch_package.pdf здесь:].<br><br>

[[Файл:DLM+Decomposition.png|right|thumb|Рисунок 14. DLM<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascienceРисунок 14.com]</ref>DLM]]<br>Динамические линейные модели представляют другой класс моделей предсказания временных рядов(рис. 14).Идея заключается в том, что в каждый моменты момент времени $t $ эти модели соответствуют линейной модели, но коэффициент регрессии постоянно меняется. <br>Пример динамической линейной модели ниже:<br><code>$y(t) = ⍺(t) + tβ(t) + w(t)</code>$,<br><code>$⍺(t) = ⍺(t-1) + m(t)</code>$,<br><code>$β(t) = β(t-1) + r(t)</code>$,<br><code>$w(t)$ ~$N(0,W) $, $m(t)$ ~$N(0,M) $, $r(t)$ ~$N(0,R)</code>$.<br>

В предыдущей модели коэффициенты $a(t) $ и $b(t) $ следуют случайному блужданию.

Динамические линейные модели могут быть построены в рамках Байесовской системы. Тем не менее и этот метод можно улучшить, подробности читайте [https://cran.r-project.org/web/packages/dlm/vignettes/dlm.pdf тутздесь].<br>

<br>[[Файл:TBATS_Electrical.png |left|thumb|Рисунок 15. DLM<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascienceРисунок 15.com]</ref>DLM]]TBATS (англ. Trigonometric seasonality, Box-Cox transformation, ARMA errors, Trend and Seasonal components) {{---}} это модели, которые основаны на экспоненциальном сглаживании(рис. 15).<br> Главной особенностью TBATS является возможность взаимодействия с несколькими сезонностями. Моделируя каждую функцию сезонности отдельным тригонометрическим отображением построенным на [[L 2-теория рядов Фурье|рядах Фурье]]. <br><br>Классическим примером комплексной сезонности будет отображение ежедневных объемов продаж, которые которое имеет, как еженедельные колебания, так и ежегодные.<br>

<br>Ещё одна модель, способная взаимодействовать с несколькими сезонностями(рис. 16). Это ПО с открытым исходным кодом от Фейсбука([https://facebook.github.io/prophet/ ссылка]).<br>[[Файл:Prophet.png |right|thumb|Рисунок 16. Prophet<ref>[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb towardsdatascienceРисунок 16.com]</ref>Prophet]]

Prophet считает, что временной ряд может быть расложен разложен следующим образом:<br><code>$y(t) = g(t) + s(t) + h(t) + ε(t)</code>$,<br>$g(t) $ {{---}} тренд,<br>$s(t) $ {{---}} сезонность,<br>$h(t) $ {{---}} каникулы, т.е аномальные данные,<br>$ε(t) $ {{---}} ошибки.<br>

Есть два варианта временных рядов тренда: модель насыщающего роста и кусочно-линейная модель. Модель многопериодной сезонности основана на рядах Фурье<ref>[[Определение ряда Фурье]]</ref>. Эффект известных и заказных выходных дней может быть легко включен в модель.<br>Модель пророка Prophet вставлена в байесовскую структуру и позволяет сделать полный апостериорный вывод, чтобы включить неопределенность параметров модели в неопределенность прогноза.<br>

<br>[[Файл:NNETARElectriacalequipmntManufacturing.png |left|300px|thumb|[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb Рисунок 17.] NNETAR]]Модель авторегрессии нейронной сети (англ. Neural NETwork AutoRegression, NNETAR ) представляет собой полностью связанную полносвязную [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Нейронные_сети,_перцептрон нейронную сеть]. Модель NNETAR принимает на вход последние элементы последовательности до момента времени $t$ и выводит прогнозируемое значение в момент времени $t + 1$. Для выполнения многоэтапных прогнозов сеть применяется итеративно. Модель можно описать уравнением$y_t = f(y_{t-1}) + \epsilon_t$ <br>где $y_{t-1} = (y_{t-1}, y_{t-2}, ...)'$ {{---}} вектор, содержащий запаздывающие значения, <br>f {{---}} нейронная сеть, с 4 скрытыми узлами в каждом слое, <br>$\epsilon_t$ {{---}} считаем, что ряд ошибок [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гомоскедастичность гомокседастичен] (и возможно имеет нормальное распределение).<br>[[Файл:NNETARElectriacalequipmntManufacturingDecomposition.png |right|300px|thumb|[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb Рисунок 18.] NNETAR c декомпозицией]] Мы можем моделировать будущие выборочные пути этой модели итеративно, случайным образом генерируя значение для $\epsilon_t$ либо из нормального распределения, либо путем повторной выборки из исторических значений. Аббревиатура расшифровывается как Neural NETwork AutoRegression<br> Так что если$\epsilon^*_{T+1}${{---}} случайная выборка из распределения ошибок в момент времени $T+1$,<br> тогда $y^*_{T+1} = f(y_T) + \epsilon^*_{T+1}$ {{---}} один из возможных вариантов распределения прогнозов для $y_{T+1}$ <br>Установив $y^*_{T+1} = (y^*_{T+1}, y_{T})'$, мы можем повторить процесс, чтобы получить $y^*_{T+2} = f(y_{T+1}) + \epsilon_{T+2}$.<br>

Модель NNETAR принимает Таким образом, мы можем итеративно моделировать будущий путь выборки. Повторно моделируя выборочные пути, мы накапливаем знания о распределении всех будущих значений на вход последние элементы последовательности до момента времени t и выводит прогнозируемое значение в момент времени t + 1. Для выполнения многоэтапных прогнозов сеть применяется итеративнооснове подобранной нейронной сети.

Модели <br>Блок [[:Долгая_краткосрочная_память|cети долго-краткосрочной памяти]] (англ. Long short-term memory, LSTM ) могут использоваться для прогнозирования временных рядов (а также других рекуррентных нейронных сетей). <br>LSTM {{---}} это аббревиатура от Long-Short Term Memories.<br>

Вообще говоря, LSTM представляют собой сложные модели, и они редко используются для прогнозирования одного временного ряда, поскольку для их оценки требуется большой объем данных.<br>Однако они обычно используются, когда необходимы прогнозы для большого количества временных рядов(проверьте как показано [https://arxiv.org/abs/1704.04110 здесь]).

Мы выполнили [[Файл:Evaluation.png |right|600px|thumb|[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb Рисунок 19.] MAE с перекрестной проверкой для каждой модели]]Выполнен выбор модели с помощью процедуры перекрестной проверки, описанной ранее. Мы не рассчитывали Не рассчитывая его для динамических линейных моделей и моделей LSTM из-за их высокой вычислительной стоимости и низкой производительности.<br>На следующем рисунке мы показываем показана [[Оценка качества в задачах классификации и регрессии|средняя абсолютная ошибка]] (англ. Mean Absolute Error, MAE ) с перекрестной проверкой для каждой модели и для каждого временного горизонта(рис. 17): [[Файл:Evaluation.png]]

Мы видим, что для временных горизонтов больше 4 модель Модель NNETAR с по сезонно скорректированными данными работает лучшескорректированным данным была лучшей моделью для данной задачи, чем другие. Давайте проверим общую поскольку она соответствовала самому низкому значению MAE, вычисленную путем усреднения по разным временным горизонтампрошедшему перекрестную проверку.<br>Чтобы получить объективную оценку наилучшей производительности модели, вычислим MAE на тестовом наборе (рис. 18), получив оценку, равную 5,24. На следующем рисунке можно увидеть MAE, оцененную на тестовой выборке для каждого временного горизонта.<br>

Модель NNETAR по сезонно скорректированным данным была лучшей моделью для этого приложения, поскольку она соответствовала самому низкому значению MAE, прошедшему перекрестную проверку.<br>Чтобы получить объективную оценку наилучшей производительности модели, мы вычислили MAE на тестовом наборе, получив оценку, равную 5,24. На следующем рисунке мы можем увидеть MAE, оцененную на тестовой выборке для каждого временного горизонта.<br>[[Файл:Cross-validated MAE.png|left|thumb|[https://towardsdatascience.com/an-overview-of-time-series-forecasting-models-a2fa7a358fcb Рисунок 20.] MAE, тестовый набор]]<br><br><br>=== Методы увеличения производительности===

===Как еще больше повысить производительность===Другие методы повышения производительности моделей:*Использование разных моделей для разных временных горизонтов,*Объединение нескольких прогнозов (например, с учетом среднего прогноза),*''Агрегация начальных данных''.<br><br>Последний метод у можно резюмировать следующим образом:*Разложите исходный временной ряд (например, используя STL)*Создайте набор похожих временных рядов путем случайного перемешивания фрагментов оставшейся компоненты.*Подбирайте модель для каждого временного ряда*Средние прогнозы каждой модели<br>

Целью этого проекта было не подобрать наилучшую возможную модель прогнозирования Большинство ранее описанных моделей позволяют легко включать изменяющиеся во времени предикторы. Они могут быть извлечены из одного и того же временного ряда или могут соответствовать внешним предикторам (например, временному ряду другого индекса промышленного производства, а дать обзор моделей прогнозирования). В реальном приложении много времени следует тратить последнем случае необходимо обратить внимание на предварительную обработкуто, разработку функций и выбор функцийчтобы не использовать информацию из будущего, которая могла бы быть удовлетворена путем прогнозирования предикторов или использования версий c ошибками.<br><br>

Большинство ранее описанных моделей позволяют легко включать изменяющиеся во времени предикторыОбратите внимание, что в данном конспекте рассматривается случай, когда у нас есть один временной ряд для прогнозирования. Они могут Когда у нас много временных рядов, может быть извлечены из одного предпочтительнее глобальный подход, поскольку он позволяет нам оценивать более сложную и того же временного ряда или могут соответствовать внешним предикторам (например, временному ряду другого индекса)потенциально более точную модель. Подробнее о глобальном подходе [https://arxiv.org/abs/1704. В последнем случае мы должны обратить внимание на то, чтобы не использовать информацию из будущего, которая могла бы быть удовлетворена путем прогнозирования предикторов или использования их лаговых версий04110 здесь].<br>

* Филатов, А[http://www. Вmachinelearning. Заметки профайлера ru/ Аwiki/index. Вphp?title=Временной_ряд machinelearning. Филатовru]*[https://ru.wikipedia. -Москваorg/wiki/Временной_ряд Википедия: Временной ряд]*[http: Издательские решения, 2019//statsoft. -522ru/home/textbook/modules/sttimser.html StatSoft: Анализ временных рядов]* http[https://wwwchaos.phys.machinelearningmsu.ru/loskutov/PDF/Lectures_time_series_analysis.pdf Лоскутов А.Ю. физ. фак. МГУ: Анализ Временных Рядов]*[https://wiki/index.php?title=Временной_ряд machinelearningloginom.ru/articles/garch-model.html loginom: Garch-модель]*[https://otexts.com/fpp2/nnetar.html Otexts: NNETAR]