Изменения

Амортизированная стоимость<tex> S= {\sum_{get} \limits} ({\sum_{u v \in get,u v \in T1} \limits 1} + {\sum_{u v \in get,u v \in T2} \limits 1} + {\sum_{u v \in get,u v \in T3} \limits 1} ) / m </tex> , где <tex> {u v \in get } </tex> означает что ребро начало которого находится в <tex> u v </tex> было пройдено во время выполнения текущего <tex> get </tex> . Ребро <tex> v </tex> эквивалентно вершине в которой оно начинается.

В силу того что <tex>{\sum_{u v \in get,u v \in T1} \limits 1} = O(1) </tex> получаем <tex> S = O(1) + {\sum_{get} \limits}( ~ {\sum_{u v \in get,u v \in T2} \limits} 1)/m+ {\sum_{get} \limits} ( ~ {\sum_{u v \in get,u v \in T3} \limits} 1)/m </tex> .

Из выше сказанного и первого следствия второй леммы получаем что <tex> {\sum_{u v \in get,u v \in T2} \limits} = log^*_x(log_2(n)) = O(log^*(n)) </tex> . Для того чтоб <tex> log^*_x </tex> существовал необходимо чтобы <tex> x > e ^{ 1 /e } \approx 1,44 </tex>

Рассмотрим сумму <tex>{\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{u v \in get,u v \in T3} \limits} 1~/m < {\sum_{get} \limits} ( ~ {\sum_{u v \in get,u v \in T3} \limits} 1)/n </tex>

Как максимум через <tex> x^{R(k) } </tex> переходов ребро перестанет появляться в классе Т3.<tex> ( {\sum_{get} \limits} ( ~ {\sum_{u v \in get,u v \in T3} \limits} 1)/n< = {\sum_u sum_v \limits ~\sum_{get: in ~ this ~ get ~ u v \in T3} \limits } 1/n < \sum_v \limits x^{R(v)} /n < \sum_{Rank=0}^{log_{2}(n)} \limits {nx^{Rank} \over n 2^{Rank}} </tex>.При <tex> x < 2~~~{\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v \in get,v \in T3} \limits} 1/n < { 2 \over 2-x } = = O(1) </tex>. В результате <tex> S=O(1)+O(1)+O(1)=O(1) </tex> .В силу того что интервал <tex> (1,44..2) </tex> не пустой теорема доказана.