Изменения

Данный алгоритм основывается на методе половинного деления. Пусть длина наибольшей общей подстроки будет <tex>x</tex>. Заметим, что у строк <tex>S</tex> и <tex>T</tex> обязательно найдется общая подстрока длины <tex>y</tex> &isin; [0 .. <tex>x</tex>], так как в качестве такой строки можно взять префикс наибольшей общей подстроки. Рассмотрим функцию <tex>f</tex> : [0 .. min(len(<tex>S</tex>), len(<tex>T</tex>))] &rarr; <tex>\mathbb{Z0, 1}</tex>, которая для <tex>i</tex> из области определения равна <tex>i</tex>1, если у строк <tex>S</tex> и <tex>T</tex> есть общая подстрока длины <tex>i</tex>, иначе она равна 0. Согласно замечанию, функция <tex>f</tex> должна по мере возрастания <tex>i</tex> строго монотонно возрастать быть равной 1 до некоторого момента, а затем обращаться в 0. Таким образом на области определения у функции <tex>f</tex> достигается максимум. Собственно, этот максимум и максимальное значение, при котором функция принимает значение 1, является длиной наибольшей общей подстроки у строк <tex>S</tex> и <tex>T</tex>, так как функция <tex>f</tex> специально так определена. Таким образом требуется с помощью бинарного поиска найти максимум функции <tex>f</tex> на ее множестве определенияэто значение. В ходе работы придется проверять наличие общей подстроки заданной длины. При этом предполагается использовать хэшированиехеширование, чтобы улучшить асимптотику алгоритма. Делается это следующим образом: 1) у строки <tex>S</tex> хэшируем хешируем подстроки заданной длины и полученные хэши хеши записываем в Set. 2) у строки <tex>T</tex> хэшируем хешируем подстроки заданной длины и в случае совпадения хэша хеша с элементом Set выполняем посимвольную проверку на совпадение подстрок. Предполагается, что хэширование хеширование будет проводится так же, как и в [[Поиск подстроки в строке с использованием хеширования. Алгоритм Рабина-Карпа|алгоритме Рабина-Карпа]].

Проведем оценку асимптотики времени работы предложенного алгоритма. Посмотрим сколько нам потребуется действий на каждом шаге бинарного поиска. Во-первых, хэширование хеширование подстрок строки <tex>S</tex> и запись их в Set требует O(len(<tex>S</tex>)) шагов. Во-вторых, хэширование хеширование подстрок строки <tex>T</tex> и проверка их наличия в Set требует O(len(<tex>T</tex>)). В приведенных рассуждениях предполагается, что операции записи в Set и проверка наличия элемента в Set работают за амортизированную O(1). Поскольку хэшировали хешировали с помощью [[Поиск подстроки в строке с использованием хеширования. Алгоритм Рабина-Карпа|этого]] метода, то это занимает линейное время. Значит,на каждый шаг бинарного поиска требуется O(max(len(<tex>S</tex>), len(<tex>T</tex>))) действий. На самом деле требуется несколько больше времени, поскольку совпадение хэшей хешей не дает гарантии совпадения подстрок, однако чтобы это было справедливо с большой вероятностью, достаточно проверить совпадение лишь нескольких произвольных символов, вместо полной проверки. Тогда на это потребуется некоторое константное число операций, что маскируется с помощью O. Заметим, что всего для завершения бинарного поиска потребуется O(log(min(len(<tex>S</tex>), len(<tex>T</tex>)))) шагов. Следовательно, суммарное время работы алгоритма будет O(log(min(len(<tex>S</tex>), len(<tex>T</tex>))) * max(len(<tex>S</tex>), len(<tex>T</tex>))) действий.