Изменения
→Алгоритм
==Алгоритм==
Данный алгоритм основывается на методе половинного деления. Пусть длина наибольшей общей подстроки будет <tex>x</tex>. Заметим, что у строк <tex>S</tex> и <tex>T</tex> обязательно найдется общая подстрока длины <tex>y</tex> ∈ [0 .. <tex>x</tex>], так как в качестве такой строки можно взять префикс наибольшей общей подстроки. Рассмотрим функцию <tex>f</tex> : [0 .. min(len(<tex>S</tex>), len(<tex>T</tex>))] → {0, 1}, которая для <tex>i</tex> из области определения равна 1, если у строк <tex>S</tex> и <tex>T</tex> есть общая подстрока длины <tex>i</tex>, иначе она равна 0. Согласно замечанию, функция <tex>f</tex> должна по мере возрастания <tex>i</tex> быть равной 1 до некоторого момента, а затем обращаться в 0. Собственно, максимальное значение, при котором функция принимает значение 1, является длиной наибольшей общей подстроки. Таким образом требуется с помощью бинарного поиска найти это значение. В ходе работы придется проверять наличие общей подстроки заданной длины. При этом предполагается использовать хеширование, чтобы улучшить асимптотику алгоритма. Делается это следующим образом: 1) у строки <tex>S</tex> хешируем подстроки заданной длины и полученные хеши записываем в Set. 2) у строки <tex>T</tex> хешируем подстроки заданной длины и в случае совпадения хеша с элементом Set выполняем посимвольную проверку на совпадение подстрок. Предполагается, что хеширование будет проводится так же, как и в [[Поиск подстроки в строке с использованием хеширования. Алгоритм Рабина-Карпа|алгоритме Рабина-Карпа]].
== Псевдокод ==
int f(int) - функция описанная в алгоритме
n = min(len(S), len(T))
int findGCS(int val)
if (f(val))
next = (n + val) / 2
else
next = (1 + val) / 2
if (next == val)
return val
else
return findGCS(val)
==Время работы==
Проведем оценку асимптотики времени работы предложенного алгоритма. Посмотрим сколько нам потребуется действий на каждом шаге бинарного поиска. Во-первых, хеширование подстрок строки <tex>S</tex> и запись их в Set требует O(len(<tex>S</tex>)) шагов. Во-вторых, хеширование подстрок строки <tex>T</tex> и проверка их наличия в Set требует O(len(<tex>T</tex>)). В приведенных рассуждениях предполагается, что операции записи в Set и проверка наличия элемента в Set работают за амортизированную O(1). Поскольку хешировали с помощью [[Поиск подстроки в строке с использованием хеширования. Алгоритм Рабина-Карпа|этого]] метода, то это занимает линейное время. Значит,на каждый шаг бинарного поиска требуется O(max(len(<tex>S</tex>), len(<tex>T</tex>))) действий. На самом деле требуется несколько больше времени, поскольку совпадение хешей не дает гарантии совпадения подстрок, однако чтобы это было справедливо с большой вероятностью, достаточно проверить совпадение лишь нескольких произвольных символов, вместо полной проверки. Тогда на это потребуется некоторое константное число операций, что маскируется с помощью O. Заметим, что всего для завершения бинарного поиска потребуется O(log(min(len(<tex>S</tex>), len(<tex>T</tex>)))) шагов. Следовательно, суммарное время работы алгоритма будет O(log(min(len(<tex>S</tex>), len(<tex>T</tex>))) * max(len(<tex>S</tex>), len(<tex>T</tex>))) действий.
