Изменения
Нет описания правки
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{(1-3t)^2}$ и $\frac{1}{(1-2t)^2}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{t}{1-3t+2t^2}$ и $\frac{2-4t}{1-4t+3t^2}$.
# Найдите производящую функцию для последовательности гармонических чисел $H_n = 1+1/2+\ldots+1/n$.
# Пусть $g_n$ задано рекуррентным соотношением: $g_0=1$, для $n>0$ выполнено $g_n=g_{n-1}+2g_{n-2}+\ldots+ng_{0}$. Найдите явную формулу для $g_n$. Найдите производящую функцию для $g_n$.
# Один эксцентричный коллекционер покрытий при помощи домино $2 \times n$-прямоугольника платит 4 доллара за каждую вертикально расположенную костяшку и 1 доллар — за горизонтальную. Сколько покрытий будут оценены по этому способу ровно в $n$ долларов? Найдите производящую функцию для числа таких покрытий.
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ доминошками и единичными клетками.
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ уголками (квадратами $2\times 2$ с вырезанной одной клеткой) и единичными клетками.
# Найдите производящую функцию для замощений трехмерной колонны $2 \times 2 \times n$ кирпичами $2 \times 1\times 1$.
# Обозначим как $F_n$ число Фибоначчи с номером $n$ ($F_0 = 1$, $F_1 = 1$, $F_k = F_{k - 1} + F_{k - 2}$). Чему равна сумма $\sum_{\substack{m > 0, \, k_i > 0 \\ k_1+k_2+\ldots+k_m=n}} F_{k_1}F_{k_2}\cdots F_{k_m}?$
# Неявное задание КО. (а) Пусть $A$, $B$ и $X$ - семейства комбинаторных объектов, причем $B \cap X = \varnothing$, $A = B \cup X$. Пусть производящие функции для $A$ и $B$ - $A(t)$ и $B(t)$, соответственно. Найдите производящую функцию $X(t)$. (б) Пусть $A$, $B$ и $X$ - семейства комбинаторных объектов, причем $A = B \times X$. Пусть производящие функции для $A$ и $B$ - $A(t)$ и $B(t)$, соответственно. Найдите производящую функцию $X(t)$. (в) Пусть $A$ и $X$ - семейства комбинаторных объектов, причем $A = Seq(X)$. Пусть производящая функция для $A$ - $A(t)$. Найдите производящую функцию $X(t)$.
# Неявное задание КО 2. Пусть $A$ и $X$ - семейства комбинаторных объектов, причем $A = MSet(X)$. Пусть производящая функция для $A$ - $A(t)$. Докажите, что производящая функция для $X(t)$ равна $\sum\limits_{k\ge 1}\frac{\mu(k)}{k}\log A(t^k)$, где $\mu$ - функция Мёбиуса.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов. Пусть $M = MSet(A)$, а $P = Set(A)$. Докажите, что $M(t) = P(t)M(t^2)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Пусть $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел, (вес числа $k$ равен $k$). Пусть $T \subset \mathbb{N}$, обозначим как $T(t)$ производящую функцию для множества $T$. Обозначим как $Seq_T(A)$ множество последовательностей элементов из $A$, где длина последовательности лежит в множестве $T$. Обозначим как $Z$ множество из одного элемента веса $1$. Обозначим как $C^T$ множество представлений в виде суммы, где порядок слагаемых важен и слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $C^T = Seq(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $C^T$.
# Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.
# Обозначим за $B$ множество всех конечных подмножеств $A$, в которых все элементы имеют различный вес. Выведите производящую функцию $B(t)$.
# Определим множество "неориентированных последовательностей" $B = USeq(A)$, как множество всех последовательностей элементов из $A$, где последовательность $L$ и $rev(L)$ считаются одинаковыми. Покажите, что $B(t) = \frac 12 \frac {1}{1 - A(t)} + \frac 12 \frac {1 + A(t)}{1 - A(t^2)}$
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где любые два выбранных числа отличаются как минимум на $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где разница между любыми соседними выбранными числами не больше $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
