31
правка
Изменения
Нет описания правки
|proof=
Доказательство очень похоже на вывод количества формулы для числа путей Дика длины $2n$.
Рассмотрим позицию последнего пересечения путем блуждания нулевой координаты, номер шага не равную равного $2n$, на котором траектория блуждания последний раз заходит в нулевую координату. Пусть эта координата равна $2x$, тогда после этого есть два варианта развития: перемещение либо на $+1$, либо на $-1$. В обоих случаях путь в следующий раз пересечёт нулевую координату только на $2n$-ое пермещение, поэтому при перемещении из координаты $2x$ далее лежит путь Дика длины $2n - 2x - 2$, не заходящий либо левее координаты $1$ (в случае перемещения $+1$), либо правее кординаты $-1$ (в случае перемещения $-1$). Количество путей Дика длины $2n - 2x - 2$ равно $C_{n-x-1}$. Так как в каждом пути существует у каждого блуждания есть его последняя позиция пересечения нулевой координаты, не равная $2n$, то можно рекурсивно посчитать все блуждания следующим образом:
<tex>w_n = \sum\limits_{x = 0}^{n - 1}{w_x \cdot 2 C_{n-x-1}} = 2 \sum\limits_{i = 0}^{n - 1}{w_i C_{n-i-1}}</tex>
