|definition=
Код <tex>c</tex> ''исправляет'' <tex>k</tex> ошибок, если <tex>d(c) > 2k</tex>.
}} <br />
{{Утверждение
|statement= Код, исправляющий <tex>k</tex> ошибок, обнаруживает <tex>2k</tex> ошибок.
== Определение и устранение ошибок в общем случае ==
Пусть <tex>\Sigma</tex> — исходный алфавит, <tex>Cc: \Sigma \to B^m</tex> — кодирование, <tex>B=(0,1)</tex>
<tex>d: B^m \times B^m \to \mathbb{R}</tex> — [[расстояние Хэмминга]] между двумя кодами. <br>
Тогда легко понятьКод, что код, полученный преобразованием <tex>Cc: \Sigma \to B^m</tex> может исправлять <math>~[</math><tex dpi = 150> {d_0-1}\over{2}</tex><math>~]</math> и обнаруживать <tex>[d_0-1]</tex> ошибок. Действительно, при любом натуральном количестве допустимых ошибок <tex>r</tex> любой код любоое кодовое слово <tex>S</tex> образует вокруг себя проколотый шар таких строк <tex>S_i</tex>, что <tex>0<d(S,S_i)\leqslant r</tex>. Если этот шар не содержит других кодов (что выполняется при <tex>r<d_0</tex>) , то можно утверждать, что если в него попадает строка, то она ошибочна. Аналогично можно утверждать, что если Если шары всех кодов не пересекаются (что выполняется при <tex dpi = 150>r \leqslant {{d_0-1}\over{2}} </tex>), то попавшую в шар строку <tex>S_i</tex> можно считать ошибочной и тождественно исправить на центр шара — строку <tex>S</tex>.<br>
[[Файл:Ham.png|350px]]
