Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
== Определение и примеры ==
* <tex>X = \mathbb R^n</tex>, <tex>\|\overline x\| = \sqrt{ \sum\limits_{k = 1}^n x_k^2 }</tex>. Неравенство треугольника для нормы — неравенство Коши для сумм.
* На <tex>\mathbb R^n</tex> можно определить также другие нормы, например <tex>\|\overline x\|_1 = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k|</tex> или <tex>\|\overline x\|_2 = \max \{\,|x_1|, |x_2|, \dots, |x_k|\,\}</tex>
* <tex>X = C[0; 1]</tex> — функции, непрерывные на <tex>[0; 1]</tex>, <tex>\|x\| = \max\limits_{t \in [0; 1]} |x(t)|</tex>
* <tex>X = \widetilde{L_1}[0; 1]</tex> — функции <tex>f \colon [0; 1] \to \mathbb R</tex>, для которых <tex>\int_0^1 |f| < +\infty</tex> (например, <tex>f(t) = \frac 1{\sqrt t} \in \widetilde{L_1}[0; 1]</tex>), <tex>\|f\| = \int_0^1 |f|</tex>
Нормированным пространством называют пару <tex>(X, \|\cdot\|)</tex> из линейного пространства и нормы на нём.
Легко проверить, что функция <tex>\rho(x, y) = \|x - y\|</tex> — метрика, а, значит, нормированные пространства можно рассматривать как частный случай метрических пространств. Это значит, что на нормированные пространства легко переносятся понятия компакта, непрерывности, предела, и так далее.
== Арифметика пределов ==
Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>x_n</tex>, <tex>y_n</tex> — последовательности точек нормированного пространства <tex>(X, \|\cdot\|)</tex>, а <tex>\alpha_n</tex> — вещественная последовательность. Известно, что <tex>x_n \rightarrow x</tex>, <tex>y_n \rightarrow y</tex>, <tex>\alpha_n \rightarrow \alpha</tex>.
Тогда:
* <tex>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex>
* <tex>\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x</tex>
* <tex>\|x_n\| \rightarrow x</tex>
|proof=
Докажем первый пункт. По определению предела в метрических пространствах, <tex>x_n \rightarrow x \iff \|x_n - x\| \rightarrow 0</tex>.
<tex>\|(x_n + y_n) - (x + y)\| = \|(x_n - x) + (y_n - y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \rightarrow 0</tex> по арифметике числовых пределов. Но, поскольку <tex>\|(x_n + y_n) - (x + y)\| \ge 0</tex> по определению нормы, то по принципу сжатой переменной <tex>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex>.
}}
